Konvergente Folgen

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21.07.2005, 20:07	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente Folgen Hallo Mathematik-Lust_ige, habe zwar die Lösung zur Folgenden Aufgabe, aber kann den Gedankengang nicht nachvollziehen. Aufgabe: Aus den bekannten Grenzwerten "einfacher" Folgen kann man oft den Grenzwert zusammengesetzter Folgen bestimmen. Zeigen Sie: konvergiert $\begin{eqnarray} (a_{n}){n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ gegen a, und $\begin{eqnarray} (b_{n}){n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ gegen b, so konvergiert $\begin{eqnarray} (a_{n}+b_{n}) \end{eqnarray}$ gegen (a+b) Lösung aus dem Buch: $\begin{eqnarray} \|a_{n}+b_{n}-(a+b)\leq\|a_{n}-a\|+\|b_{n}-b\| \end{eqnarray}$ hat jemand Ahnung, wie man Aufgaben solcher Art angeht... Danke voraus
21.07.2005, 20:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was verstehst du daran denn nicht? Diese Lösung ist sicher nicht vollständig. Wie man solche Aufgaben angeht? Solche Aufgaben gehen sogut wie immer mit der Dreiecksungleichung. Man überlegt sich, was $\begin{eqnarray} a_n\to a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_n\to b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n+b_n\to a+b \end{eqnarray}$ bedeutet, schreibt das mathematisch auf (mit der Definition) und überlegt dann, wie man den Beweis dann führen kann. Versuch mal, das so zu machen, wie ich jetzt gesagt hab und schreib das mal hier rein. Mal sehen, wie weit du kommst. Gruß MSS
21.07.2005, 22:47	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mathespezialschüler, ist $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ ein Bildungsgesetzt. Und die Folge lautet dann: $\begin{eqnarray} (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...,a_{n}) \end{eqnarray}$ . Oder steht $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ allgemein für alle Folgen... im ersten Fall könnte ich noch nachvollziehen, dass die Folge mit $\begin{eqnarray} a_{\infty} \end{eqnarray}$ endet, und damit nur der Index von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gegen unendlich läuft und Wert von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bleibt dem z.b. von $\begin{eqnarray} (a_{1}) \end{eqnarray}$ gleich. ... bin ganz auf dem falschen Weg, oder?
22.07.2005, 02:02	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
eine folge endet gar nicht, auch nicht mit einem unendlichsten glied $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ steht einfach für irgendeine folge, solange nicht näher beschrieben kannst du uns denn die epsilon-definition der konvergenz einer folge a_n gegen ihren grenzwert a sagen?
22.07.2005, 17:37	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin im Netz auf folgenden Beweis gestossen, der irgendwie plausibel klingt: $\begin{eqnarray} (a_{n}+b_{n}) \leq (a+b)+E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{n}+b_{n}) \geq (a+b)-E \end{eqnarray}$ so kann man auf allen Seiten (a+b) subtraieren, man bekommt: $\begin{eqnarray} E \geq a_{n}+b_{n}-(a+b) \leq -E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E \geq (a_{n}-a)+(b_{n}-b) \leq -E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E \geq Nullfolge \leq -E \end{eqnarray}$ Was haltet Ihr davon?
22.07.2005, 18:08	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du den Link,bei dem das so gemacht wurde,noch parat?
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22.07.2005, 19:07	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.mathematik.net/grenzwerte/gr2s4.htm ich habe "kleiner, grösser"-Zeichen mit $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ ersetzt, da ich nicht wusste, wie man es im Formeleditor eingibt... PS: Noch eine organisatorische Frage. bin neu hier. Kann man hier die Links ohne weiteres posten oder gibt es Einwände?
22.07.2005, 19:16	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
aha,das ist es also. Denn das $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ist in dem Beweis völlig falsch.Es handelt sich stets um "echt" größer oder kleiner wie du bereits.Du kannst das im Formeleditor einfach mit den Pfeilen auf deiner Tastatur eingeben. Also mit < und > Warum ist $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ falsch? Ganz einfach: Die Definition sagt man hat ein epsilon,das größer als 0 ist.Eine Nullfolge wäre nur dann $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ als -E, wenn E=0 wäre.Aber E muss größer als 0 sein (siehe Definition).Und ist E größer als 0,dann wirst du mir zustimmen,dass die Nullfolge sicherlich nicht kleiner ist als -E (E ungleich 0) Ist auch ein netter und einfacher Beweis.Ich arbeite aber lieber mit der Dreiecksungleichung.
22.07.2005, 19:18	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, du darfst links posten verwende einfach die zeichen <> von deiner tastatur (links vom y) der beweis ist schon in ordnung so wie sie ihn bringen, er umgeht halt die definitionen weitestgehend hinzsuchreiben, indem er etwas "schludert", das ist aber eigentlich ganz okay bei deinem beweis oben fehlt noch etwas mehr an details, deswegen war n!s nachfrage schon in ordnung das E ist übrigens ein epsilon wichtige frage: verstehst du den beweis? versuch ihn in eigenen worten aufzuschreiben
22.07.2005, 21:23	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuche es: also man möchte beweisen, dass wenn $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergiert und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ konvergiert, so konvergiert $\begin{eqnarray} (a_{n}+b_{n}) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} (a+b) \end{eqnarray}$ . ich stelle mir bildlich Koordinatensystem vor, in dem es ein $\begin{eqnarray} eps \end{eqnarray}$ -Bereich, der an Grenzwert $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ angrenzt, gibt. Und zwar in beide y-Richtungen: also es gibt zwei Bereiche. $\begin{eqnarray} +eps \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -eps. \end{eqnarray}$ Aus der Aufgabenstellung setze ich $\begin{eqnarray} g=(a+b) \end{eqnarray}$ und schliesse daraus: $\begin{eqnarray} \|g+eps > x_{n}\| \end{eqnarray}$ => ab einem bestimmten(n_ten) Wert $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ hoffe ich den $\begin{eqnarray} eps \end{eqnarray}$ -Bereich zu erreichen. Egal wie klein ich den $\begin{eqnarray} eps \end{eqnarray}$ auch wähle. so ist $\begin{eqnarray} (a+b)+eps > a_{n}+b_{n} \end{eqnarray}$ (=>für $\begin{eqnarray} +eps \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} (a+b)-eps < a_{n}+b_{n} \end{eqnarray}$ (=>für $\begin{eqnarray} -eps \end{eqnarray}$ ) dann schreibe ich beide Ungleichungen zusammen $\begin{eqnarray} (a+b)+eps > a_{n}+b_{n} > (a+b)-eps \end{eqnarray}$ dann kommt die Umformung, so dass folgende ungleichung entsteht: $\begin{eqnarray} +eps > (a_{n}-a)+(b_{n}-b) > -eps \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a_{n}-a) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} (b_{n}-b) \end{eqnarray}$ sind Nullfolgen, und Nullfolge + Nullfolge ergibt wieder eine Nullfolge (das habe mir per Definition sagen lassen). also ergibt: $\begin{eqnarray} +eps > Nullfolge > -eps \end{eqnarray}$ und da die Ungleichzeichen unverlezt bleiben, entsteht kein Widerspruch... So, ich habe zwar in der "Bauersprache" dargelegt, hoffe aber mit wenig Unsinn?! Für Kritik bin dankbar. Wie funktioniert der Beweis mit der schon erwähnten "Dreiecksungleichung"? Danke voraus...
22.07.2005, 21:44	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht gut aus. Also so habe ich das damals bewiesen: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ vorgegeben.Dann gibt es Indizes $\begin{eqnarray} n_0 , n_1 \end{eqnarray}$ ,sodass folgt: $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\epsilon \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|b_n-b\|<\epsilon \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n>n_1 \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} n>max(n_0,n_1) \end{eqnarray}$ hat man also: $\begin{eqnarray} \|(a_n+b_n)-(a+b)\|=\|(a_n-a)+(b_n-b)\|\leq \|a_n-a\|+\|b_n-b\|<2\epsilon \end{eqnarray}$

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