Exponentialverteilung

02.02.2008, 17:56

vms01

Exponentialverteilung

Hi, könnt ihr mal drüberschauen und mir sagen ob des passt?

Ist hier der Erwartungswert = Lambda oder so wie ich es vermute bzw. wies in meinem Skript steht : Erwartungswert = mittlere Lebensdauer =>
Erwartungswert = 1/Lambda => Lambda = 1/Erwartungswert

4. Die Lebensdauer L eines Rechnersystems (Dauer bis zum Systemabsturz) ist exponentialverteilt mit einem erwartungswert von 3 Jahren
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System innerhalb der ersten 2 Jahre abstürzt?

b) In welchem Zeitraum stürzt das System mit eine Wahrscheinlichkeit von p = 0,95 ab?

c) Wie hoch ist die mittlere Lebensdauer, damit das System mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens die ersten 3 Jahre überlebt?

Lösung:

a)

Da der Erwartungswert hier 3 Jahre ist würde ich sagen ist $\begin{eqnarray*} \lambda= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} P(L<=2) = F(2)= 1- e^{\frac{-1}{3} *2} = 0,486582 \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} P(L<=x) = 0,95 => F(x) = 1- e^{\frac{-1}{3}*x} =0,95 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,05 = e^{\frac{-1}{3}*x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=8,98 \end{eqnarray*}$ ist etwas viel oder?

c)
$\begin{eqnarray*} P(L>=3) = 0,99 => 1 - P(L<3) = 0,99 =>1- F(3) = 0,99 => \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-(1-e^{-\lambda*3}) =0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda*3} =0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda*3 = ln 0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda = 0,00335 \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} P(L>3) = 1 - P(L<=3)= 1- F(3) => 1- F(3) = 1- e^{\frac{-1}{3}*3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0,3678 \end{eqnarray*}$

Danke!!

03.02.2008, 12:03

derzwerg

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RE: Exponentialverteilung

Zitat:

Original von vms01
Hi, könnt ihr mal drüberschauen und mir sagen ob des passt?

Ist hier der Erwartungswert = Lambda oder so wie ich es vermute bzw. wies in meinem Skript steht : Erwartungswert = mittlere Lebensdauer =>
Erwartungswert = 1/Lambda => Lambda = 1/Erwartungswert

lambda wird, glaube ich, unterschiedlich definiert, üblich ist meines Wissens
lambda = 1/Erwartungswert

4. Die Lebensdauer L eines Rechnersystems (Dauer bis zum Systemabsturz) ist exponentialverteilt mit einem erwartungswert von 3 Jahren
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System innerhalb der ersten 2 Jahre abstürzt?

b) In welchem Zeitraum stürzt das System mit eine Wahrscheinlichkeit von p = 0,95 ab?

c) Wie hoch ist die mittlere Lebensdauer, damit das System mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens die ersten 3 Jahre überlebt?

Lösung:

a)

Da der Erwartungswert hier 3 Jahre ist würde ich sagen ist $\begin{eqnarray*} \lambda= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} P(L<=2) = F(2)= 1- e^{\frac{-1}{3} *2} = 0,486582 \end{eqnarray*}$

sieht gut aus

b)

$\begin{eqnarray*} P(L<=x) = 0,95 => F(x) = 1- e^{\frac{-1}{3}*x} =0,95 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,05 = e^{\frac{-1}{3}*x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=8,98 \end{eqnarray*}$ ist etwas viel oder?

sieht auch gut aus

c)
$\begin{eqnarray*} P(L>=3) = 0,99 => 1 - P(L<3) = 0,99 =>1- F(3) = 0,99 => \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-(1-e^{-\lambda*3}) =0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda*3} =0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda*3 = ln 0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda = 0,00335 \end{eqnarray*}$

Hier würde ich noch den Kehrwert nehmen, denn gefragt wurde ja nach der
mittleren Lebensdauer.

d)
$\begin{eqnarray*} P(L>3) = 1 - P(L<=3)= 1- F(3) => 1- F(3) = 1- e^{\frac{-1}{3}*3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0,3678 \end{eqnarray*}$

Hierzu gab es keine Frage oben.

Danke!!

03.02.2008, 13:45

vms01

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up, sorry!!

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Lebensdauer in a) ¨uber 3 Jahren?

03.02.2008, 17:14

derzwerg

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Zitat:

Original von vms01
up, sorry!!

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Lebensdauer in a) ¨uber 3 Jahren?

Also da haette ich jetzt gesagt,

P(L > 3) = 1 - F(3) = 1 - (1 - exp(-lambda*t)) = exp(-1/3 * 3) = exp(-1) = 0.3678.

(Das Ergebnis stimmt also, nur auf dem Weg ist ein "1-" verlorengegangen...)

03.02.2008, 17:27

vms01

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stimmt

!! Ok supa , danke!!

ist bei b) x= 8,9 der zeiraum für Absturz von fast 9 Jahren nicht bissl viel???

04.02.2008, 11:13

derzwerg

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Zitat:

Original von vms01
stimmt Augenzwinkern

!! Ok supa , danke!!

ist bei b) x= 8,9 der zeiraum für Absturz von fast 9 Jahren nicht bissl viel???

Nein, finde ich nicht. Sieh mal, im Mittel dauert es drei Jahre, bis das System abstürzt, nach 9 Jahren sind dann 95% der Systeme abgestürzt.

Anbei ein Plot aus dem R-Programm:

plot(seq(0, 10, 0.01), exp(-1/3*seq(0, 10, 0.01)), type='l')

04.02.2008, 12:21

vms01

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vielen Dank für die Hilfe, die Aufgabe kam dran!! Hab so gemacht wie ich bzw. du es gesagt haben Augenzwinkern

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