konvergente Reihe ich find den Fehler nicht...

02.02.2008, 18:03

praunss

konvergente Reihe ich find den Fehler nicht...

Also die Reihe schaut so aus :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^\infty ~\frac{(\frac{1}{n} ln a)^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$

und wenn ich da den limes mach kommt immer eins raus: ich mac das so:
das ganze schaut ja schon fast wie die e reihe aus, also form ich sie so um:
erst die reihe von k=0 beginnen lassen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^\infty ~\frac{(\frac{1}{n} ln a)^{k-1}}{k!} - \frac{n}{ln a} \end{eqnarray*}$
dann aus dem k-1 ein k machen :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n}{ln a} \sum_{k=0}^\infty ~\frac{(\frac{1}{n} ln a)^{k}}{k!} - \frac{n}{ln a} \end{eqnarray*}$
dann hab ich meine gewünscht e reihe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n}{ln a} \sqrt[n]{a}) - \frac{n}{ln a} \end{eqnarray*}$
und die n-te wurzel aus a is ja 1 => $\begin{eqnarray*} \frac{n}{ln a} - \frac{n}{ln a} \end{eqnarray*}$

aber da sollte 1 rauskommen... wie??

02.02.2008, 18:23

system-agent

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Tut mir leid, schreib bitte ersteinmal sorgfältig die Reihe auf, da haben sich meiner Meinung nach zu viele Variablen eingeschlichen und das " $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " über dem Summensymbol, stimmt das wirklich?

Ich denke du meinst
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\cdot\left(\frac{1}{k}\ln(a)\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

02.02.2008, 18:25

Dual Space

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RE: konvergente Reihe ich find den Fehler nicht...
Warum zweifelst du an der Korrektheit? Das

Zitat:

Original von praunss
Also die Reihe schaut so aus :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^\infty ~\frac{(\frac{1}{n} ln a)^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$

macht durchaus Sinn.

02.02.2008, 18:28

praunss

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nope, ich hab das schon richtig abgeschrieben, so steht das bei uns aufm blatt.

02.02.2008, 18:51

system-agent

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Edit:
Folgendes ist falsch! Forum Kloppe

Ich hab folgend umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{1}{n}\ln a)^{k-1}}{k!}=\frac{n}{\ln a}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{1}{n}\ln a)^k}{k!}=\frac{n}{\ln a}\sqrt[n]{a}=\frac{n}{\ln a}\exp(\frac{1}{n}\ln a)=\exp\left(\ln\left(\frac{n}{\ln a}\right)\cdot\frac{1}{n}\ln a\right) \end{eqnarray*}$

02.02.2008, 18:53

praunss

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mussman die e reihe net bei 0 losgehn lassen? sonst wärs ja was anders oder seh ich des falsch

02.02.2008, 18:58

system-agent

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Stimmt, muss dann auch nochmals nachsehen...also am besten den Beitrag nicht beachten smile

02.02.2008, 19:01

praunss

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jetzt hast du aber des k-1 und gleichzeitig von 0 losgehen lassen und dafür nur einmal n/lna geschrieben...versteh ich net ^^

02.02.2008, 19:33

praunss

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kommt leute für euch cracks is das dochn kinderspiel !
biddeee Gott

02.02.2008, 19:56

system-agent

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Eine Idee, aber trotzdem nocheinmal ganz kritisch drüberschauen:
$\begin{eqnarray*} 1=1+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{k-1}}\frac{(\ln a)^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$

Nun die normale Konvergenz der Exponentialreihe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left[1+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{n^{k-1}}\frac{(\ln a)^{k-1}}{k!}\right]=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k-1}}\frac{(\ln a)^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$

02.02.2008, 20:49

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Potenzreihen definieren in ihrem Konvergenzgebiet stetige Funktionen. Daher darf man den Limes ins Argument der Funktion ziehen. Es folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f \left( \frac{\ln a}{n} \right) = f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn es dennoch interessiert: Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \left( \operatorname{e}^x - 1 \right) \end{eqnarray*}$ mit der stetigen Ergänzung $\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt.

03.02.2008, 10:20

praunss

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sry, da hätt ich selber drauf kommen müssen
das mit dem limes wusst ich, aber 0^0 = 1 ... irgendwie war mir da 0 lieber Augenzwinkern

danke

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