Verständnisproblem bei Doppelintegral

22.07.2005, 11:32

Birneweich

Verständnisproblem bei Doppelintegral

Hallo,

habe folgende Aufgabe:

Es sei G das folgende Gebiet in der Ebene

$\begin{eqnarray*} G:=\{(x_1,x_2)/-3\leq x_1\leq 2,x_1^2+x_1-6\leq x_2\leq 0\} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie das Integral

$\begin{eqnarray*} J=\int_{G}^{}~\frac{\mid 2x_1+1 \mid }{1+x_2^2} ~dG \end{eqnarray*}$

(Dabei bedeutet $\begin{eqnarray*} dG \end{eqnarray*}$ dasselbe wie $\begin{eqnarray*} d^2x \end{eqnarray*}$ oder wie $\begin{eqnarray*} dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$ ).

Und der Zusatz in der Klammer,also was $\begin{eqnarray*} dG \end{eqnarray*}$ bedeutet,macht mir Kopfzerbrechen.

Wenn dieser Zusatz nicht wäre,würde ich das Doppelintegral folgendermaßen angehen:

$\begin{eqnarray*} J=\int_{-3}^{2}\int_{0}^{x_1^2+x_1-6}~\frac{\mid 2x_1+1 \mid }{1+x_2^2} ~dx_2dx_1 \end{eqnarray*}$

aber in der Klammer steht ja,daß ich zuerst nach $\begin{eqnarray*} dx_1 \end{eqnarray*}$ und erst dann nach $\begin{eqnarray*} dx_2 \end{eqnarray*}$ integrieren soll,oder hab ich das falsch verstanden und kann das Doppelintegral so lösen,wie ich es oben begonnen habe?

Vielen Dank im Voraus!

22.07.2005, 12:00

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Verständnisproblem bei Doppelintegral
Hier in dem Fall spielt die Integrationsreihenfolge keine Rolle - der Satz von Fubini lässt grüßen. Also integriere ruhig in der Reihenfolge, wie du es vorhattest: innen x2, außen x1.

Im übrigen kennzeichnet die Symbolik $\begin{eqnarray*} dG \end{eqnarray*}$ , dass die Integrationsreihenfolge gar keine Rolle spielen darf, ansonsten ist die Funktion schlichtweg nicht zweidimensional integrierbar.

22.07.2005, 12:06

Birneweich

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur,
vielen Dank für deine Antwort.
Hört sich sehr gut an,erleichtert mir doch die Bearbeitung vieler Klausuraufgaben.

Aber kannst du mir deinen letzten Satz erklären?Warum ist das so?

22.07.2005, 12:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Birneweich
Aber kannst du mir deinen letzten Satz erklären?Warum ist das so?

Der Satz von Fubini besagt, dass bei existenten Mehrfachintegralen diese durch "iterierte" Integrale (also nach und nach über die Komponenten integrieren) berechnet werden können, und die Werte dieser iterierten Integrale unabhängig von der Integrationsreihenfolge der Komponenten jeweils gleich sind.

Im Umkehrschluss bedeutet das dann: Wenn Werte der iterierten Integrale unterschiedlich sind, dann ist die Funktion ganz sicher nicht mehrdimensional integrierbar!

Die Umkehrung der letzten Aussage gilt übrigens nicht. Es gibt also Funktionen, wo alle iterierten Integrale existieren und vom Wert auch gleich sind, und dennoch existiert das mehrdimensionale Integral nicht. Dazu als Beispiel die berühmte Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases}+1 & \mbox{für}\quad x\leq y < x+1\\ -1 & \mbox{für}\quad x-1\leq y < x\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Man kann sich leicht überlegen, dass

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x,y)~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x,y)~\mathrm{d}y~\mathrm{d}x = 0 \end{eqnarray*}$

gilt, trotzdem existiert das zweidimensionale Integral

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{\mathbb{R}^2} ~ f(x,y)~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

nicht, weil sowohl das Integral über Positiv- als auch Negativteil der Integrandenfunktion jeweils Unendlich ergeben.

22.07.2005, 12:38

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Verständnisproblem bei Doppelintegral

Zitat:

Original von Arthur Dent
Hier in dem Fall spielt die Integrationsreihenfolge keine Rolle - der Satz von Fubini lässt grüßen. Also integriere ruhig in der Reihenfolge, wie du es vorhattest: innen x2, außen x1.

Sehe ich es richtig, dass beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge auch die Grenzen verändert werden müssten? Also müsste dann x1 in Abhängigkeit von x2 geschrieben werden. Und x2 innerhalb eines konstanten Intervalls.

22.07.2005, 12:52

Birneweich

Auf diesen Beitrag antworten »

@calvin:

Darauf zielte meine Frage eigentlich ab.
Denn das würde ein dickes Problem beim obigen Integral verursachen.
(Zumindest für mich!)

Aber wenn ich Arthur richtig verstanden habe,kann ich bei der Symbolik $\begin{eqnarray*} dG \end{eqnarray*}$ die Integrationsreihenfolge ändern,ohne die Integrationsgrenzen zu wechseln,oder?

22.07.2005, 13:01

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versuch mal, meinen senf beizusteuern, wenn das unfug ist, dann Forum Kloppe

mich

du musst natürlich beachten, dass wenn (ohne Einschränkung) x1 grenzenmäßig von x2 abhängt, dass du dann erst über x1 integrierst, dabei kommt in dein integral dann beim einsetzen der grenzen was mit x2 dazu, was dann beim integrieren über x2 verarbeitet wird.
würdest du andersherum integrieren, dann würde zum schluss x2 stehen bleiben.

beispielsweise bei integration über dem gebiet
$\begin{eqnarray*} F=\{(x_1,x_2) | 0<x_1<x_2, 0<x_2<1 \} \end{eqnarray*}$

inwiefern dass die regel verletzt - keine ahnung.

22.07.2005, 13:11

Birneweich

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED

Danke,das ist soweit klar.
Muß zuerst über die abhängige Variable integrieren,dann über die festen Grenzen.

Nur,wie ich befüchtet habe ,muß ich beim obigen Integral beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge auch die Integrationsgrenzen ändern.(so wie es Calvin beschrieben hat).

Und die Funktion
$\begin{eqnarray*} y=x^2+x-6 \end{eqnarray*}$

in eine $\begin{eqnarray*} x=y irgendwas \end{eqnarray*}$ Funktion umzupolen,finde ich problematisch!

22.07.2005, 13:13

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

an sich "relativ" einfach auflösen mit mitternachtsformel (p,q-formel)
aber wie man dann mit dem +/- der formeln umgeht, das kann ich dir dann auch nicht sagen....

deswegen: machs dir so einfach wie möglich.....

22.07.2005, 13:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ein Plot, über welches Gebiet wir hier überhaupt integrieren:

Wenn wir zuerst über $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , und dann über $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ integrieren, dann können wir $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in der vorgegebenen Darstellung nutzen:

$\begin{eqnarray*} G:=\left\{(x_1,x_2) \bigm| -3\leq x_1\leq 2,x_1^2+x_1-6\leq x_2\leq 0\right\} \end{eqnarray*}$

Und wenn wir uns das Leben schwer machen wollen - also erst über $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und dann über $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ integrieren - dann müssen wir $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erstmal umschreiben:

$\begin{eqnarray*} G:=\left\{(x_1,x_2) \bigm| -\frac{25}{4}\leq x_2\leq 0,\frac{-1-\sqrt{25+4x_2}}{2}\leq x_1\leq\frac{-1+\sqrt{25+4x_2}}{2}\right\} \end{eqnarray*}$

Klingt natürlich nicht sonderlich vernünftig, diese zweite Variante. smile

P.S.: War ich wohl zu langsam...

22.07.2005, 13:22

Birneweich

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja,einfach wie möglich ist aber vermutlich nicht richtig!?!

Schön wär´s wenn mir nochmal jemand bestätigen könnte,daß $\begin{eqnarray*} dG \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} dx^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} dx_2dx_1 \end{eqnarray*}$

Das hieße für mich,daß ich die Reihenfolge unabhängig von den Integrationsgrenzen ändern kann.

Daß ich bei Integralen,die von Anfang an eine festgelegte Integrationsreihenfolge haben,beim Wechseln dieser Reihenfolge die Grenzem mit ändern muß ist mir klar,nur wie verhält es sich bei diesem verflixten $\begin{eqnarray*} dG \end{eqnarray*}$ ?

P.S.:Nu war ich zu langsam Augenzwinkern

22.07.2005, 14:04

Birneweich

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat eigentlich schon jemand versucht das Integral zu lösen?

Ich habe nämlich als Lösung 0 raus.Kann das sein???

22.07.2005, 14:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du hast nämlich die Betragsstriche vergessen...

22.07.2005, 14:54

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

für das auflösen der beträge würde ich normalerweise das integral über x1 zerlegen in teilintegrale

verwirrt

sind deine grenzen z.b. von -2 bis 2, so integrierst du von -2 bis -0,5 und von -0,5 bis 2, damit du deine beträge gescheit auflösen kannst

richtig?!

22.07.2005, 15:32

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Erleichterung der Rechnung sei noch erwähnt, dass nicht nur das Integrationsgebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} x_1=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist, sondern auch der Integrand.

Neue Frage »

Antworten »

Verständnisproblem bei Doppelintegral

Verwandte Themen