Anwendung des Mittelwertsatzes (Diff.)

03.02.2008, 11:03	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des Mittelwertsatzes (Diff.) Hallo! Es geht um folgende Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ohne die eins und a,b in R. Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes: $\begin{eqnarray} x^n+ax+b=0 \end{eqnarray}$ hat höchstens zwei reelle Nullstellen für gerade n und höchstens drei reelle Nullstellen für ungerade n. Zuerst einmal zum Mittelwertsatz selbst: Wenn ich ihn richtig verstehe, besagt er, dass unter den benötigten Voraussetzungen auf einem Intervall stets die Durchschnittssteigung in einem Punkt angenommen wird. Oder anders: In irgendeinem Punkt wird die Sekantensteigung zwischen f(b) und f(a) angenommen. Der erweiterte besagt, dass das Verhältnis zwischen den Durchschnittssteigungen zweier Funktion auch in einem Punkt des Intervalls angenommen wird. So, was hilft mir das jetzt hier? Bzw. in der Musterlösung wird über Monotonieintervalle argumentiert ohne das für mich erkennbar näher auf den Mittelwertsatz eingegangen wird.
03.02.2008, 12:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ Nullstellen, dann existiert nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray} \xi \in (a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray}$ . welchen wert hat $\begin{eqnarray} f'(\xi) \end{eqnarray}$ dann?
03.02.2008, 13:52	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(\xi) = 0 \end{eqnarray}$ womit wir ja im Prinzip beim Satz von Rolle wären. Ok, also liegt dort ein Monotoniewechsel vor. Die Verbindung zur Aufgabe ist mir jedoch immer noch nicht ganz klar. Wofür brauche ich bei dieser Aufgabe dann den Mittelwertsatz? Beziehungsweise wie kann ich ihn einsetzen? Ich kann sagen "Wenn es 2 Nullstellen gibt, dann gibt es mindestens einen Monotonie-Wechsel". Der Umkehrschluss gilt jedoch nicht. Ich kann vielleicht sagen "Wenn es einen Monotonie-Wechsel gibt, dann gibt es höchstens zwei Nullstellen". Aber brauche ich dafür dann den Mittelwertsatz? Also, die Argumentation über Monotonieintervalle etc. kann ich gut nachvollziehen. Mein Problem ist jedoch weiterhin, wie genau der Mittelwertsatz hier drin steckt.
03.02.2008, 13:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
klar ist das eigentlich der satz von rolle, aber ist ja egal, solange man es auch aus dem mittelwertsatz folgern kann. und betrachte doch mal die erste ableitung. wieviele reelle nullstellen kann die höchstens haben?
03.02.2008, 14:22	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
n gerade => höchstens eine Nullstelle n ungerade => höchstens zwei Nullstellen. Ja, und dann kann ich über Monotonieintervalle argumentieren. Das ist mir klar. Aber irgendwie weigert sich mein Gehirn noch zu verstehen, was das genau mit dem Satz von Rolle zu tun hat.
03.02.2008, 17:08	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
angenommen n gerade und $\begin{eqnarray} f(x)=x^n+ax+b \end{eqnarray}$ hat 3 oder mehr nullstellen. dann hat die ableitung mind. 2 nullstellen (das folgerst du mit dem mittelwertsatz/satz von rolle) --> widerspruch.
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03.02.2008, 22:35	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
aja, ich verstehe. Ich kann sozusagen immer die Intervalle zwischen 2 Nullstellen betrachten und mit dem Satz von Rolle folgt dann, dass dort die Ableitung mindestens eine Nullstelle hat. Analog also für n ungerade: Angenommen die Gleichung hat 4 oder mehr Nullstellen => mindestens drei Nullstellen der Ableitung. Widerspruch. Formal müsste ich dann wahrscheinlich jedes mal die Intervalle angeben, folgern wie viele Nullstellen die Ableitung haben muss und das dann über die tatsächlichen Nullstellen der Ableitung widerlegen.
04.02.2008, 12:39	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur noch so als Hinweis: Der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz sind äquivalent... (Einerseits ist der Satz von Rolle offensichtlich ein Spezialfall vom Mittelwertsatz, der Mittelwertsatz lässt sich aber mithilfe des Satzes von Rolle beweisen).

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