konvergiert die Reihe + Summe der Reihe

03.02.2008, 11:36

oerny

konvergiert die Reihe + Summe der Reihe

Hi, ich habe folgende reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~e^{kx} \end{eqnarray*}$ für welche x aus R konvergiert die Reihe, welche Summe hat sie.

da habe ich mdurch das Wurzelkriterium ruas, das die Reihe für x<0 konvergiert.

nur habe ich keine ahnung wie ich auf die summe kommen soll.
ich habe versucht $\begin{eqnarray*} y:= e^x \end{eqnarray*}$ zu substituieren, und dann würde folgen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~e^{kx} = \frac{1}{1-e^x} \end{eqnarray*}$ was leider nicht stimmt, durch rumprobieren mit dem Taschenrechner bin ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e^{|x|}}-1 \end{eqnarray*}$ gekommen, aber wie macht man sowas rechnerisch?

03.02.2008, 11:46

praunss

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also ich würde das so machen:
erstmal die Reihe so umschreiben :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(e^{-x})^{k} = \sum_{k=0}^\infty ~(\frac{1}{e^{x}})^{k} \end{eqnarray*}$
dann haste ne schöne geometrische Reihe die du dann so lösen kannst:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{e^{x}}} \end{eqnarray*}$

03.02.2008, 12:25

oerny

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passt aber wenn ichs nachrechne mit dem tr auch nciht wirklich bzw. das vorzeichen passt nicht, also noch en betrag rum :-)
ne mal im ernst, was macht man wenns nicht wirklich hinhaut?

03.02.2008, 12:31

tmo

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schau dir doch mal den post von praunss genau an. warum ist wohl das vorzeichen falsch, wenn du für x negative werte einsetzt?

03.02.2008, 12:50

oerny

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hab ich mir genau angeschaut, evtl tip ich ja falsch:
ich nehm für x einfach mal -1 ein, dann hätte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{e^{+1}}} = 1,582 \end{eqnarray*}$ der grenzwert ist aber 0,582 damit sit es so falsch, setz ich wirklich -1 ein
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{e^{-1}}} = -0,582 \end{eqnarray*}$ also das vorzeichen falsch.

oder was mache ich falsch?

03.02.2008, 12:52

praunss

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ich hab das in der annahme geschrieben dass du den betrag nimmst, denn ich hab gleich am anfang x in -x verwandelt, da die reihe nur konvergiert wenns negativ ist

03.02.2008, 13:03

oerny

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nur nochmal ob ichs jettz richtig versth, dann hätte ich als summe doch eigentlich $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1-e^{|x|}}| \end{eqnarray*}$ oder?

03.02.2008, 13:18

praunss

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vllt isses so klarer:
Konvergenz nur für x<0
substiuiere -m = x

dann is die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(e^{-m})^{k} \end{eqnarray*}$
die Geometrische Reihe sagt dir den Wert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{e^{m}}} \end{eqnarray*}$
wenn du jetzt resubstiuierst:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{e^{-x}}} = \frac{1}{1-e^{x}} \end{eqnarray*}$
und das gilt jetzt für alle x<0

03.02.2008, 13:21

tmo

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@praunss: welchen sinn soll die substitution denn haben?

03.02.2008, 13:27

oerny

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dann kommen wir zurück zum problem, das ich habe, ich hätte nämlcih die gleiche summe genommen:
setze ich für x=-1 ein, erhalte ich 1,58197...
setze ich für x =-2 ein, erhalte ich 1,15651...

lass ich aber die Summeberechnen, kommt bei x=-1 raus 0,58197....
und bei x=-2 kommt raus 0.15651....

oder was mache ich falsch?

03.02.2008, 16:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von oerny
lass ich aber die Summeberechnen, kommt bei x=-1 raus 0,58197....
und bei x=-2 kommt raus 0.15651....

Vielleicht solltest du bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ anfangen. Im Übrigen ist gegen die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\operatorname e^{kx}=\frac{1}{1-\operatorname e^x} \end{eqnarray*}$

nichts einzuwenden, falls $\begin{eqnarray*} |\operatorname e^x|<1 \end{eqnarray*}$ ist.

03.02.2008, 16:43

oerny

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misst!!! klar k=0, das hatte ich übersehen, dann ists klar! danke!

03.02.2008, 16:52

praunss

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@tmo : siehe post von amthespezialschüler , ich hab substituiert damit man leichter verstehen kann was ich mach, ich finds dann glasklar Big Laugh

03.02.2008, 17:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von praunss
@tmo : siehe post von amthespezialschüler , ich hab substituiert damit man leichter verstehen kann was ich mach, ich finds dann glasklar Big Laugh

Ich finde es so eher schwerer zu verstehen. Die Substitution ist vollkommen unnötig.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty e^{kx} = \sum_{k=0}^\infty \left(e^x\right)^k. \end{eqnarray*}$

Das ist eine geometrische Reihe und konvergiert bekanntlich nur für $\begin{eqnarray*} e^x < 1. \end{eqnarray*}$ Und das ist genau dann der Fall, wenn x < 0.

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