Integration durch Substitution

03.02.2008, 11:57	PeterArtz	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Hallo ihr Lieben, ich sitze gerade über meiner Abivorbereitung und rechne einige Übungsaufgaben. Jetzt hänge ich leider bei einem Aufgabenteil bei der es um Integration durch Substitution geht. Obwohl Tipps zur Lösung sowie die Lösung selbst angegeben sind, verstehe ich den Schritt nicht ganz. Vielleicht kann mir jemand exemplarisch den Weg aufzeichnen: Ich benötige eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{4x}{x^2+1} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \int \frac{4x}{x^2+1} \ dx \end{eqnarray}$ bei den Tipps steht: Bestimme mit Hilfe der Integration durch Substitution. Als Lösung wird folgendes angegeben: $\begin{eqnarray} \int \frac{4x}{x^2+1} \ dx = 2 \cdot \ln (x^2+1) \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand den Weg dorthin schildern bzw. exemplarisch darstellen. Ich weiß, dass die Substitutionsregel auf die Kettenregel und damit auf eine Verkettung zurückgeht. Grüße und Danke Peter
03.02.2008, 12:03	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere $\begin{eqnarray} u = x^2+1 \end{eqnarray}$ , dann kannst du das auf das Integral von 1/u zurückführen, welches dir bekannt sein sollte Edit Moment ... kriegst du das Beispiel nicht hin, oder verstehst du die Substitutionsregel nicht? ------------------------------------------------------------------------- Schneller geht es, wenn man direkt die Formel $\begin{eqnarray} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~\dd x = \ln \|f(x)\| + c \end{eqnarray}$ kennt, aber du sollst ja Subsitution anwenden air
03.02.2008, 12:28	PeterArtz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hatte immer so meine lieben Probleme mit der Substitution. Aber an sich hat das immer geklappt. Die Regel die mir geschrieben hast hätte jetzt im "Notfall" auch in der Formelsammlung gestanden. Mir geht es jetzt aber um das Verständnis. Für eine ausführlichere Erklärung wäre ich dankbar.
03.02.2008, 13:07	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Air hat dir schon gesagt was du substituieren musst. $\begin{eqnarray} u=x^2+1\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{du}{2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{1}^{}~\frac{4x}{x^2+1}~dx=\int_{1}^{}~ \frac{4x}{u}\frac{du}{2x}~=\int_{1}^{}~\frac{2}{u}~du \end{eqnarray}$ Jetzt noch integrieren und zurücksubstituieren, dann bist du fertig.
03.02.2008, 13:11	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@ PeterArtz Die Gültigkeit der Regel, die Airblader gepostet hat wird dadurch klar, wenn man die allgemeine Stammfunktion einmal ableitet (Kettenregel). Gruß Björn

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