keine Extremstellen???

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23.07.2005, 10:57	PostalService	Auf diesen Beitrag antworten »
keine Extremstellen??? Ich hänge bei einer Aufgabe: Und zwar soll ich "alle Extremstellen und Sattelpunkte nebst Funktionswerten" von $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=2y^{2}+3x\cos(z) \end{eqnarray}$ berechnen. Also notwendige Bedingung setze ich dann den Gradienten $\begin{eqnarray} (3\cos(z),4y,-3x\sin(z))=0 \end{eqnarray}$ Aber dies ist ja nur erfüllt, wenn $\begin{eqnarray} \sin(z)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(z)=0 \end{eqnarray}$ Dies hieße aber, dass z einmal ein n-faches von pi und gleichzeitig ein 0.5(2n-1)-faches von pi sein muss. Dies ist aber unmöglich, wenn ich mich nicht irre... Also ist die not. Bed. nicht erfüllt und es gibt weder Extremstellen, noch Sattelpunkte, richtig?????? danke
23.07.2005, 11:00	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
Jau
23.07.2005, 11:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in der dritten Koordinate des Gradienten habt ihr einfach unterschlagen ...
23.07.2005, 15:53	PostalService	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, also reicht es bei der dritten Ableitung vom Gradienten einfach, dass x=0 ist und z kann dann ja beliebig sein und es ändert sich nichts an der Gültigkeit der Aussage! So habe ich dann meine kritischen Punkte bei $\begin{eqnarray} (0,0,\frac{(2n-1) \pi }{2}),n\in Z \end{eqnarray}$ ! Das sind aber unendlich viele kritische Punkte! Wie ist dann jetzt die weitere Vorgehensweise??
23.07.2005, 18:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja für beliebiges $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \left( 0 \, , 0 \, , \frac{\pi}{2} + n \pi \right) = 0 \end{eqnarray}$ Und jetzt überlege direkt: Nimmt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in einer genügend kleinen punktierten Umgebung der kritischen Stelle nur positive oder nur negative Werte an? Oder nimmt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Werte beiderlei Vorzeichens an, egal, wie klein die Umgebung ist? Das kann man hier ohne jegliche Rechnung direkt entscheiden.
24.07.2005, 12:58	PostalService	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs mal überprüft, es müssten alles Sattelpunkte sein, das der Kosinus um cos(z)=0 schwankt, also einmal immer positiv und einmal immer negativ ist... Also hat die Funktion unendliche viele Sattelpunkte beim meinen kritischen Punkten....
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24.07.2005, 13:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und auch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schwankt um 0 herum. In einer beliebig kleinen Umgebung um einen kritischen Punkt kann man immer $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ wählen und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ so, daß $\begin{eqnarray} 3x \cos{z} \end{eqnarray}$ einmal negativ und einmal positiv wird.
24.07.2005, 21:47	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
mal zur Höhreren Mathematik Verschoben
27.07.2005, 11:01	PostalService	Auf diesen Beitrag antworten »
Neue Funktion, gleiches Problem: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=cos x + sin y + cos z \end{eqnarray}$ Habe raus: unendlich viele Sattelpunkte bei $\begin{eqnarray} (a\pi, \frac{1}{2} (2b-1)\pi , c\pi ) a,b,c \in Z \end{eqnarray}$
27.07.2005, 15:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt nicht ganz. $\begin{eqnarray} \left(a\pi, b\pi+\frac{\pi}{2}, c\pi \right),\qquad a,b,c \in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist (1) ein Maximum, falls a,b,c gerade sind (2) ein Minimum, falls a,b,c ungerade sind (3) sonst ein Sattelpunkt. P.S.: Ich verwende ein anderes b als du, weil so die Beschreibung der Maxima und Minima einfacher ausfällt. EDIT: LaTeX-Fehler korrigiert.
27.07.2005, 15:56	PostalService	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, verstehe das zwar nicht ganz, aber ich werde es mir merken, falls in der Klausur die Aufgabe drankommen sollte...
27.07.2005, 19:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel zu merken gibt's da nicht - das hat einfach was mit richtiger Auswertung der Hesse-Matrix zu tun! Oder bei diesem einfachen Fall der Summe dreier (variablenmäßig) unabhängiger Winkelfunktionen was mit "geübtem Auge".

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