Basis des R²

03.02.2008, 17:39

Zellerli

Basis des R²

Wieso bilden die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ich hab da stehen, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ... v_n \end{eqnarray*}$ eine Basis von V bilden, wenn:
1. $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ... v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
2. $\begin{eqnarray*} V = span\{ v_1, v_2, ... v_n\} \end{eqnarray*}$ . (span ist die Summe aller Linearkombinationen).

1. Ist offenbar erfüllt.
2. Ist scheinbar das Problem.

Zwei lin unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf, richtig? Das gilt auch für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , oder?

Jetzt vermute ich, dass das an der Definition des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ liegt. Ich dachte mir: "2D, das ist doch der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ". Aber der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ist scheinbar genau der lineare Raum mit zwei Dimensionen, also genau die Ebene, die (z.B.) durch die Vektoren $\begin{eqnarray*} e_x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} e_y=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.

Ist das die richtige Begründung, warum die beiden Vektoren v_1 und v_2 keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ bilden?

03.02.2008, 17:43

tmo

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ja das ist richtig. vektoren können trivialerweise nur eine basis von V bilden, wenn sie auch in V enthalten sind.

03.02.2008, 17:43

therisen

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RE: Basis des R²

Zitat:

Original von Zellerli
Wieso bilden die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ?

Weil die Vektoren nicht im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ liegen.

03.02.2008, 17:48

Zellerli

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Ah, sehr gut. Dacht mir auch, dass das nicht so schwer sein kann, da die Aufgaben drumrum auch sehr geschissen waren.
Dann gehört zur Definition noch, dass die Vektoren der Basis des Raums im selbigen Raum liegen müssen. Nur offenbar war das zu trivial Augenzwinkern

Danke euch.

03.02.2008, 17:49

tmo

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RE: Basis des R²

Zitat:

Original von Zellerli
Dann gehört zur Definition noch, dass die Vektoren der Basis des Raums im selbigen Raum liegen müssen

Zitat:

Original von Zellerli

2. $\begin{eqnarray*} V = span\{ v_1, v_2, ... v_n\} \end{eqnarray*}$

das steckt schon hier drin.

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