e^z + e^-z = 0

03.02.2008, 19:27

Morzail

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e^z + e^-z = 0

Guten Abend,

an der Herleitung der Formel $\begin{eqnarray*} e^z + e^{-z} \end{eqnarray*}$ = 0 bin ich bisher gescheitert.
Versucht habe ich den folgenden Ansatz:
$\begin{eqnarray*} e^{x+iy} + e^{-x-iy} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x*e^{iy}+e^{-x}*e^{-iy}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x*(e^{iy}+e^{-2x}*e^{-iy})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x*(cos (y) +i *sin(y)+e^{-2x}*(cos (-y) - i *sin(y)))=0 \end{eqnarray*}$

Der Ansatz scheint mich jedoch nicht weiter zu bringen. Hat jemand von Euch eine Idee/Lösung für $\begin{eqnarray*} e^z + e^{-z} = 0 \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2008, 19:33

Morzail

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RE: e^z + e^-z = 0
Bei z handelt es sich logischerweise um eine komplexe Zahl, bestehend aus Realteil (x) und Imaginärteil (y).

Sry für Doppelpost..

03.02.2008, 19:34

WebFritzi

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Folgendes: Deine Gleichung ist äquivalent zu cosh(z) = 0. Nun gilt

$\begin{eqnarray*} \cosh(x + iy) = \cosh(x)\cos(y) + i\sinh(x)\sin(y). \end{eqnarray*}$

03.02.2008, 19:49

Gump

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Hallo Morzail!

Gilt $\begin{eqnarray*} e^{z} + e^{-z} = 0 \end{eqnarray*}$ nicht nicht nur für $\begin{eqnarray*} z=\pi/2+k*\pi \end{eqnarray*}$ ( k ist Element aus den ganzen Zahlen)?

edit: Ach vergiss einfach, was ich geschrieben habe

Grüße Gump

03.02.2008, 19:50

WebFritzi

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Habe meinen Beitrag editiert...

Ich habe raus: $\begin{eqnarray*} z = \left(2k_1 + i\left(\frac{1}{2} + k_2\right)\right)\pi. \end{eqnarray*}$

03.02.2008, 19:51

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} e^z+e^{-z}&=&0\\e^{2z}+1&=&0\\\left(e^z\right)^2&=&-1 \end{eqnarray*}$

Was suchen wir also ? eine komplexe Zahl deren Quadrat -1 ist ...

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03.02.2008, 19:54

Mathespezialschüler

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@Lazarus
Du darfst aber nur für $\begin{eqnarray*} \operatorname e^z\neq 0 \end{eqnarray*}$ damit multiplizieren, ansonsten ist dies keine Äquivalenzumformung.

edit: Sorry, macht natürlich keinen Sinn, weil das für jedes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt.

04.02.2008, 14:41

Morzail

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Danke für euren Lösungsvorschläge.
Habe mich heute nochmal dran gesetzt und folgendes in der Formelsammlung finden können:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^z+e^{-z}}{2}=cosh(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^z+e^{-z}=2cosh(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cosh(z)=cos(iz) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} e^z+e^{-z}=2cos(iz) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(iz)=0 \end{eqnarray*}$

cos(a) wird 0 wenn $\begin{eqnarray*} a=\pi(\frac{1}{2}+k)| k\in \mathbb N0 \end{eqnarray*}$
also muss $\begin{eqnarray*} iz=\pi(\frac{1}{2}+k) \end{eqnarray*}$ sein, d.h.

$\begin{eqnarray*} z=-i*\pi(\frac{1}{2}+k) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis besitzt scheinbar keinen Realteil... mir könnte jedoch auch nen fehler unterlaufen sein.
Webfritzi, wie kommst du auf dein Ergbnis? Könntest du mal bitte deinen Lösungsweg angeben? K1 und k2 sind bei dir wahrscheinlich in der form k1+k2*i = z verknüpft?

04.02.2008, 14:42

Frooke

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Zitat:

Original von WebFritzi
Habe meinen Beitrag editiert...

Ich habe raus: $\begin{eqnarray*} z = \left(2k_1 + i\left(\frac{1}{2} + k_2\right)\right)\pi. \end{eqnarray*}$

Man kann doch auch benutzen:

$\begin{eqnarray*} \cosh z = \cos(\mathrm iz) \end{eqnarray*}$
Dann folgt.

$\begin{eqnarray*} z=\frac{(2n+1)\mathrm i\pi}{2},n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$

EDIT: Etwas spät, aber @Morzali: Der Cosh hat tatsächlich keine reelle Nullstelle:

EDIT: Noch einen Fehler korrigiert...

04.02.2008, 14:52

Morzail

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@Frooke
Dankeschön, dann haben wir jetzt das Ergebnis... "mein" k muss auch in den Ganzen Zahlen sein, was mir leider erst nach dem Betrachten deines Post vor deinem 2. Edit aufgefallen ist.^^

04.02.2008, 17:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Morzail
@Frooke
Dankeschön, dann haben wir jetzt das Ergebnis... "mein" k muss auch in den Ganzen Zahlen sein, was mir leider erst nach dem Betrachten deines Post vor deinem 2. Edit aufgefallen ist.^^

Sag mal, wozu mache ich mir egentlich die Muehe fuer
dich, wenn du dir meine Beitraege eh nicht durchliest??? unglücklich

unglücklich

Die Loesungen von Frooke sind in den von mir
geposteten enthalten und sind NICHT ALLE
Loesungen der Gleichung.

04.02.2008, 17:59

Lazarus

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Ja Fritzi, das denk ich mir auch. Nichts für Ungut, aber ich halte den Umweg über die Winkelfunktionen für unnötig.
Wir sind doch im Komplexen, da können wir doch direkt mit e^x spielen. Auch wenn oder gerade weil ich nicht die Lösungen auf dem Silbertablett serviert habe finde ich es dennoch nicht sehr schön einfach ignoriert zu werden.
Aber gut, das soll jeder selber wissen wie er mit Hilfe umgeht.

04.02.2008, 18:14

WebFritzi

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@Lazarus: Danke fuer deine Unterstuetzung. Aber verlierst du mit deinem Ansatz nicht auch Loesungen. Ich kriege naemlich dieselben raus, die Frooke auch hat. Naemlich die rein imaginaeren.

04.02.2008, 20:19

Mathespezialschüler

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@Webfritzi
Nein, zunächst sind doch die Umformungen von Lazarus äquivalent:

Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} e^z+e^{-z}&=&0\\e^{2z}+1&=&0\\\left(e^z\right)^2&=&-1 \end{eqnarray*}$

Und letzteres bedeutet

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^z=\operatorname i\ \vee\ \operatorname e^z=-\operatorname i \end{eqnarray*}$ .

Nunja und daraus kriegt man (unter Beachtung der Periodizität) genau die gleichen Lösungen.

04.02.2008, 20:31

WebFritzi

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Jepp. Ich Hornochse habe in der Ausgangsgleichung in beiden Exponenten ein i gesehen. Ich nehme alles zurueck. Meine "Loesungen" sind teilweise falsch.

04.02.2008, 23:41

Morzail

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Zitat:

Original von WebFritzi
Sag mal, wozu mache ich mir egentlich die Muehe fuer
dich, wenn du dir meine Beitraege eh nicht durchliest??? unglücklich

unglücklich

Die Loesungen von Frooke sind in den von mir
geposteten enthalten und sind NICHT ALLE
Loesungen der Gleichung.

Deine Beiträge habe ich mir durchgelesen, jedoch konnte ich zu dem Zeitpunkt ohne Lösungsweg nichts anfangen... k1 und k2 waren nicht definiert - jetzt denke ich zu sehen, dass mit denen Ganze Zahlen gemeint sind, die die Periodizität der Nullstellen umfassen sollten..
Ohne eine Erläuterung bzw. Darstellung des Lösungswegs, ist und war es mir leider nicht möglich auf deine Lösung von z zu kommen, was vll. auch daran liegen kann, dass ich noch nicht soviel Übung mit den Komplexen Zahlen habe.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (e^z)^2 = -1 \end{eqnarray*}$ verwirrt mich jedoch noch, wie soll man ohne Umformung in die trigonometrische Form von z, die Periodizität herausfinden können?
$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ergibt im reellen zumindest doch immer eine positive Zahl. Ich kann mir diese Funktion im Komplexen nicht vorstellen.

edit: Latex-Fehler korrigiert. (MSS)

04.02.2008, 23:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Morzail
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (e^z)^2 = -1 \end{eqnarray*}$ verwirrt mich jedoch noch, wie soll man ohne Umformung in die trigonometrische Form von z, die Periodizität herausfinden können?
$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ergibt im reellen zumindest doch immer eine positive Zahl. Ich kann mir diese Funktion im Komplexen nicht vorstellen.

Hehe, du bist gut. Ich kann mir diese Funktion auch nicht vorstellen! Das mag vielleicht daran liegen, dass sie von den komplexen Zahlen in die komplexen Zahlen abbildet und man dementsprechend ein Koordinatensystem mit vier Achsen bräuchte, um sie wie gewohnt anschaulich darzustellen. Es ist ja nunmal eine Funktion $\begin{eqnarray*} \exp:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
Und zur Periodizität: Wer sagt denn, dass das ohne Umformung in die trigonometrische Darstellung gelingen soll?

04.02.2008, 23:59

Morzail

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bei !Double Superscript sollte stehen: $\begin{eqnarray*} \left(e^z\right)^2&=&-1 \end{eqnarray*}$

PS @Lazarus:
Tut mir Leid, ich wollte dich nicht absichtlich ignorieren, jedoch kann ich mit der Termumformung, aufgrund meines fehlenden Wissens zum Verhalten einer e-Funktion im Komplexen die Lösung nicht erkennen.

Es wäre nett, wenn mir erläutern werden könnte, wie man bei e^z die Periodizität herausfinden könnte.

PSS: sry für den Doppelpost...

04.02.2008, 23:59

WebFritzi

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Zitat:

Original von Morzail
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{z^2} = -1 \end{eqnarray*}$ verwirrt mich jedoch noch

Darum ging es aber nie. Es geht um $\begin{eqnarray*} (e^z)^2 = -1. \end{eqnarray*}$

05.02.2008, 00:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Morzail
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{z^2} = -1 \end{eqnarray*}$ verwirrt mich jedoch noch

Darum ging es aber nie. Es geht um $\begin{eqnarray*} (e^z)^2 = -1. \end{eqnarray*}$

Das war (zumindest teilweise) mein Fehler. Ich habe aus Versehen das (wenn auch in jedem Fall) falsche "e^z^2" in "e^{z^2}" geändert, was natürlich wenig Sinn macht. Entschuldigung.

05.02.2008, 00:03

WebFritzi

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Toll!

Ansage

Klo

Buschmann

Teufel

Augenzwinkern

05.02.2008, 00:04

Morzail

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@Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Lazarus
...
Wir sind doch im Komplexen, da können wir doch direkt mit e^x spielen. ...

Daraus entnahm ich, dass man ohne den Umweg über die cos,cosh,sin.. - Funktionen die Lösung "hinschreiben" könnte.

Zitat:

WebFritzi
Darum ging es aber nie. Es geht um $\begin{eqnarray*} (e^z)^2 = -1. \end{eqnarray*}$

Sry, ich hab mich verschrieben, meine die Form, die du gerade eben gepostet hast.^^
Bekam ständig einen double-script-fehler..

05.02.2008, 00:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Morzail
@Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Lazarus
...
Wir sind doch im Komplexen, da können wir doch direkt mit e^x spielen. ...

Daraus entnahm ich, dass man ohne den Umweg über die cos,cosh,sin.. - Funktionen die Lösung "hinschreiben" könnte.

Nunja, der Umweg von Webfritzi, dir und Frooke, so wie es jetzt in dem Post weiter oben von dir steht, ist ein "viel größerer" Umweg über die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen, als dies Lazarus und ich meinen. Und man kann ja im Prinzip eigentlich auch davon ausgehen, dass in der Vorlesung die Periodizität der Exponentialfunktion bereits bewiesen wurde, da das nunmal eine grundlegende Tatsache ist. Und dann braucht man halt wirklich nur die Exponentialfunktion.
Und falls dies noch nicht gezeigt wurde, dann ist es halt noch ein kleiner Umweg über diese Funktionen, aber eben auch nur ein sehr kleiner.

05.02.2008, 00:30

Morzail

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Jop, ich seh gerade in der Formelsammlung, dass $\begin{eqnarray*} e^{i*\pi}=-1 \end{eqnarray*}$ ergibt, damit sollte es dann so wie ihr zwei es meintet, der Weg schneller und einfacher sein, als der Weg über die Winkelfunktionen...
Ich werde mir im Vorlesungsscript die Periodizität der e-funktion nochmal anschauen, falls die in unserer Vorlesung behandelt wurde.^^

Vielen Dank an Euch, ihr habt mir auf jeden Fall mit dem Verständnis der Komplexen Zahlen weitergeholfen. Es tut mir Leid, wenn ich Euch durch mein Verhalten gekränkt habe, das wollte ich nicht! Sry!
In Zukunft, werde ich auf die einzelnen Lösungen bei fehlendem Verständnis meinerseits nochmal nachfragen, wenn Ihr nichts dagegen habt.

05.02.2008, 04:18

Lazarus

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Ja, da war ich wohl nun zu langsam.
Der Vollständigkeit halber ergänze ich das allerdings noch.
$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ ist, wie sicherlich in der Vorlesung eingeführt wurde, die Drehung um den Nullpunkt im kartesischen Koordinatensystem um den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Als Zweites sollte man wissen, dass bei der Multiplikation komplexer Zahlen Beträge multipliziert, und die Argumente (Das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ) addiert werden.

Dies ist als Vorwissen ausreichend.

Ich will nun $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ durch die Multiplikation zweier gleicher komplexer Zahlen erreichen. Das sind $\begin{eqnarray*} \varphi=180° \end{eqnarray*}$ im Gradmaß und $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß

Da das Bogenmaß auf $\begin{eqnarray*} \left(0;\ 2\pi\right] \end{eqnarray*}$ begrenzt ist, ergeben sich nur zwei Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ durch eine Summe zweier gleicher Summanden darzustellen:
$\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Dies ist natürlich $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ periodisch zu betrachten.

Also im Endeffekt $\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=\mathrm i \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}=-\mathrm i \end{eqnarray*}$

Betrachtet man das nun in der gegebenen $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ Periode erhält man alle Lösungen.

05.02.2008, 11:28

Frooke

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PS @ WebFritzi: Ich wollte Dich da keineswegs übergehen - nur eine Alternative vorschlagen. Hoffe, dass das nicht missverstanden wurde. Gott

Gott

.

05.02.2008, 11:32

WebFritzi

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Nö.

smile

05.02.2008, 17:31

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Lazarus
Also im Endeffekt $\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=\mathrm i \end{eqnarray*}$

Huch?!

Augenzwinkern

05.02.2008, 17:46

Leopold

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"Viertel"-Kreis und Pi-"Viertel" ist halt doch nicht dasselbe. Big Laugh

Big Laugh

05.02.2008, 22:55

Lazarus

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Ja, zugeben ist das mutig zu behaupten. Aus dem Zusammenhang sollte die Ausrede "Tippfehler" allerdings ziehen. Man könnte sich auch vorstellen wodurch die vorgerückte Stunde zustande kam und in Anbetracht dessen lobend erwähnen, dass dies der einzige Fehler war. Ich war selbst überrascht! Big Laugh

Big Laugh

06.02.2008, 01:55

WebFritzi

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Bist du da gerade von einer Party gekommen und warst voll wie Hulle? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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