Hauptachsentransformation

23.07.2005, 19:56

phi

Hauptachsentransformation

moin, moin,

Hab´ hier mit der Matrix A eine Hauptachsentransformation durchgeführt, ist auch alles gut gelaufen, ausser das mir eine '3', also ein Eigenwert 'abhanden' gekommen ist.

Sieht jemand den Fehler?
Hab´s mehrmals durchgeschaut, kann aber nichts finden...

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} P_A= (2-\lambda )^3-2-3(2-\lambda) \\ \Rightarrow \lambda(\lambda^2 -6\lambda +9 ) \end{matrix} \end{eqnarray*}$

ergibt die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 , && \lambda_2=\lambda_3=3 \end{eqnarray*}$ ...

2)...zu den Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} ,&& x_2=x_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3) orthonormalisieren:

$\begin{eqnarray*} w_1=\frac{x_1}{ \| x_1 \| }= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} , & -\frac{1}{\sqrt{3}}, & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_2 \| w_2 \|=x_2-\langle x_2,w_1 \rangle w_1=(1,1,0)-0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}, & \frac{1}{\sqrt{2}}, & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_3 \| w_3 \|=x_3 -\langle x_3,w_1 \rangle w_1 -\langle x_3,w_2 \rangle w_2 =(1,1,0)-\sqrt{2}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} }, & \frac{1}{\sqrt{2}}, & 0 \end{pmatrix}-0=(1,1,0)-(1,1,0)=o \end{eqnarray*}$

w_3 ist also der Nullvektor.

4) Transformationsmatrix (die w´s als Spalten)

$\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

5) transformieren

$\begin{eqnarray*} P^tAP= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot P =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich müsste doch recht´s unten in der Diagonalmatrix auch eine 3 stehen, oder ?

Dank & Gruß, phi

24.07.2005, 12:06

gast1

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Wie kommst du darauf, $\begin{eqnarray*} x_2=x_3 \end{eqnarray*}$ zu setzen? Der Eigenraum zum Eigenwert 3 ist hier zweidimensional, also muss $\begin{eqnarray*} (x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ eine Basis dieses Eigenraumes sein.
Diese Basis (ohne Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ , denn dies ergibt sich automatisch) musst du dann orthonormieren.

24.07.2005, 23:40

phi

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Stimmt, ich hab einen Fehler bei der Kernbestimmung gemacht. Es müsste $\begin{eqnarray*} x_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Danke, werd´s damit nochmal versuchen.

mfg, phi.

25.07.2005, 08:39

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@phi

Das Orthogonalisieren beschränkt sich nur auf diejenigen Eigenräume, die mehrdimensional sind, und dort nur "innerhalb". Denn bei symmetrischen Matrizen stehen zu unterschiedlichen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren automatisch senkrecht aufeinander! Insofern musst du nur dein $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ nach Gram-Schmidt anpassen, so dass es innerhalb des zu $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ gehörenden Eigenraums senkrecht auf $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ steht.

Insofern sind weite Teile deiner Rechnung schlichtweg unnötig. Z.B. die Null hier am Ende war kein Zufall, sondern zwangsläufig:

Zitat:

Original von phi
$\begin{eqnarray*} w_2 \| w_2 \|=x_2-\langle x_2,w_1 \rangle w_1=(1,1,0)-0 \end{eqnarray*}$

Das abschließende Normieren betrifft dann aber wieder alle Eigenvektoren.

26.07.2005, 09:40

phi

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Okay, danke für den Tip.

19.08.2005, 11:54

baumbart

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RE: Hauptachsentransformation
Hallo,

habe die Hauptachsentransformation hier soweit verstanden, aber woher weiß ich nun, welches die Hauptachsen sind?

Besten Dank!

19.08.2005, 15:55

baumbart

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Habs mir gerad noch mal angeguckt. Die Hauptachsen sind doch die eigengeraden, oder? und das sind doch die (lamda i * v i), wobei lamda i skalare sind und v i die Eigenvektoren.

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