orthonormalisieren mit gram schmidt

24.07.2005, 11:27

ThorB

orthonormalisieren mit gram schmidt

$\begin{eqnarray*} a1:=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a3=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so als erstes a1 normieren $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1^2+-1^2+2^2} =\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

dann b1 ausrechnen $\begin{eqnarray*} b1=a1*\frac{1}{ \mid \sqrt{6} \mid }=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} *\frac{1}{ \mid \sqrt{6} \mid} \end{eqnarray*}$

dann rechne ich c2 aus $\begin{eqnarray*} c2=a2-b1*(a2*b1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2^2+1^2} =\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

dann rechne ich $\begin{eqnarray*} b2 =c2*\frac{1}{\mid \sqrt{5} \mid } \end{eqnarray*}$

bis jetzt richtig ?

24.07.2005, 11:33

Anirahtak

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Hallo,

das schaut ganz gut aus.
Die Betragstriche um die Wurzeln sind ein wenig überflüssig, aber sonst passts.

Gruß
Anirahtak

24.07.2005, 11:38

ThorB

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wie rechne ich jetzt c3 aus

so ? $\begin{eqnarray*} c3=a3-b1*(a3*b1)-b2*(a3*b2) \end{eqnarray*}$

danach $\begin{eqnarray*} c3:=\sqrt{..........} \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} b3=c3*\frac{1}{\mid c3 \mid } \end{eqnarray*}$

24.07.2005, 15:10

Anirahtak

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Ja. Du meinst bei der dritten Formel aber bestimmt |c3|=sqrt(...).

Gruß
Anirahtak

13.05.2006, 19:17

Der_Knuff

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Hallo,

das Verfahren an sich ist relativ einleuchtend, allerdings stellt sich mir jetzt ein Problem, auf dessen Lösung ich nicht komme: wie sieht es aus, wenn ich nicht direkt Vektoren hab, sondern Polynome??
Bsp: Ich soll das orthogonale Komplement von

U=<3+15x+15x²+15x³, -3+15x²+7x³> aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$

bezüglich dem Skalarprodukt

<f,g> = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}~f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Kann mir jemand sagen, wie man bei sowas ansetzt oder wo ich ein Rechenbeispiel finde?

13.05.2006, 19:47

JochenX

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Zitat:

das Verfahren an sich ist relativ einleuchtend, allerdings stellt sich mir jetzt ein Problem, auf dessen Lösung ich nicht komme: wie sieht es aus, wenn ich nicht direkt Vektoren hab, sondern Polynome??

solange es nur um GramSchmidt geht genauso..... auch einfach nur in die Formel einsetzen, das SKP eben über das Integral berechnen.

Was deine Aufgabe mit GramSchmidt zu tun hat sehe ich aber nicht, das orthogonale Komplement ist eh unendlichdimensional, wenn du den ganzen IR[X] als IR-VRm betrachtest

13.05.2006, 20:05

Der_Knuff

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Ups, ich meinte natürlich nicht den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x]\leq 3 \end{eqnarray*}$ .

Und wie mach ich das mit der Norm dann? Im Prinzip hab ich dann also v1=3+15x+15x²+15x³ und v2=-3+15x²+7x³ zu denen ich dann die orthogonalen w1 und w2 bestimmen muss, oder versteh ich das falsch?

13.05.2006, 22:40

JochenX

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versuche doch erst mal 2 Vektoren zu finden, die deine zweielementige Menge zu einer Basis des IR^4 ergänzen.
Ich habe hier schon frech IR^4 gesagt, denn dazu ist das ganze ja isomorph.

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