Funktionsuntersuchung

04.02.2008, 01:19

MatheKind

Funktionsuntersuchung

Hallo,
eigentlich wollte ich eine Funktionsuntersuchung auf einfache Art und Weise lösen, wie ich es schon einmal tat. Dummerweise musste ich feststellen, dass ich durch diese Weise nicht auf das richtige Ergebnis komme, mit einer anderen Methode jedoch schon.

Hier die Aufgabenstellung:
Ein Polynom dritten Grades berührt die x-Achse in $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ , schneidet die y-Achse in $\begin{eqnarray*} y = 1 \end{eqnarray*}$ und besitzt ein Maximum in $\begin{eqnarray*} x = - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} a(x-b)(x-c)(x-d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(x-1)(x-1)(x-d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(x²-2x+1)(x-d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 1 \end{eqnarray*}$ , aufgrund von y-Achsenabschnitt bei $\begin{eqnarray*} y = 1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a(x²-2x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(x³-x²-2x²+2x+x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(x³-3x²+3x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0) = a(0³-0²-2*0²+2*0+0-1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³+3x²-3x+1 \end{eqnarray*}$

Rauskommen soll jedoch:

$\begin{eqnarray*} x³-x²-x+1) \end{eqnarray*}$

Erkennt irgendjemand mein Fehler?

Liebe Grüße
MatheKind

04.02.2008, 01:31

Bjoern1982

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Nee also mit diesem Ansatz wird das nichts....damit bekommst du doch überhaupt nicht die gesamten Bedingungen aus der Aufgabentellung unter einen Hut.

Du brauchst 4 Gleichungen.

04.02.2008, 01:39

MatheKind

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Hi Bjoern,
manchmal kann man durch einfachere Methoden auch mit weniger Gleichungen auskommen. Wenn das hier nicht der Fall ist, wo ist dann genau der Fehler?

Liebe Grüße
Steff

04.02.2008, 01:52

Bjoern1982

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Naja wie ich schon sagte hast du doch nicht alle Bedingungen untergebracht.

Dass eine doppelte Nullstelle bei Berührung der x-Achse in x=1 existiert kann man noch nachvollziehen, den y-Achsenabschnitt kriegt du aber damit nicht mehr hin geschweige denn das Maximum bei x=1/3.

MIr ist das zumindest nicht bekannt wie man das noch anders machen könnte.
Dass man mit deinem Ansatz Nullstellen erfassen kann ist klar...viel mehr kriegst du aber damit nach meinem Kenntnisstand nicht untergebracht.

Gruß Björn

04.02.2008, 10:08

MatheKind

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Hi Bjoern,
was ist am y-Achsenabschnitt falsch, wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray*} d = 1 \end{eqnarray*}$ ist?

Siehe:

$\begin{eqnarray*} f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 1 \end{eqnarray*}$

Die Maximumbedingung kriege ich auch hin, aber ich wüsste nicht, wie das mir bei dieser Methode helfen soll:

$\begin{eqnarray*} f'(-\frac{1}{3} ) = 3a*(-\frac{1}{3})² + 2b*(-\frac{1}{3}) + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-\frac{1}{3} ) = (\frac{1}{3})a -\frac{2}{3}b + c = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich alle Bedingungen aufschreibe und sie dann anschließend gleichsetze, komme ich auf das richtige Ergebnis, aber ich will das anders machen.

Kannst du mir nun sagen, wo der Fehler liegt?

Liebe Grüße
MatheKind

04.02.2008, 10:34

Bjoern1982

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Zitat:

was ist am y-Achsenabschnitt falsch, wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray*} d = 1 \end{eqnarray*}$ ist?

Siehe:

$\begin{eqnarray*} f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 1 \end{eqnarray*}$

Eben das geht nicht weil du ja gar nicht mehr von f(x)=ax³+bx²+cx+d ausgehst sondern von deiner faktorisierten Variante f(x)=a(x-1)(x-1)(x-d) und das ist nicht dasselbe, weil du hier schon von vornherein festlegst, dass b,c und d Nullstellen sind.
Folglich musst du auch hier f(0)=1 ansetzen, wodurch du d=-1/a erhälst.

Mit der Maximumstelle, also durch nullsetzen der 1. Ableitung, kannst du dann a bestimmen, das wirst du also nicht vermeiden können einmal die Ableitung zu bilden weil wie gesagt nur Berührungen eine doppelte Nullstelle der Ausgangsfunktion erzeugen, für eine "normale" Extremstelle brauchst du die 1. Ableitung.

Hilft das weiter ?

Gruß Björn

04.02.2008, 11:29

MatheKind

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Hi Bjoern,
danke, komme jetzt auf das richtige Ergebnis! Freude

Allerdings brauche ich die Ableitung gar nicht, da ich das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ einfach wieder in $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ einsetzen kann und dann auf $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ komme. Und da $\begin{eqnarray*} d = -\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ ist, kann ich gleich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einsetzen. $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

Danke sehr!!! :-)

Liebe Grüße
MatheKind

04.02.2008, 11:32

Bjoern1982

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Keine Ursache smile

Aber glaub mir, wenn man GAR nicht die Maximumstelle mit einbezieht dann kann das richtige Ergebnis doch nur Zufall sein...man kann ja nicht mal eben eine Bedingung weglassen Augenzwinkern

Björn

04.02.2008, 11:51

MatheKind

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Hi Bjoern,
danke, das werde ich mir merken!
Habe auch gleich mal überprüft, ob bei der Ableitung dasselbe rauskommt.

Liebe Grüße
MatheKind

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