Strahlensatz der Mandelbrotmenge

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Strahlensatz der Mandelbrotmenge
Hallo,

kennt sich jemand mit dem Theorem von Douady und Hubbard aus?

Da geht es darum das Strahlen vom Ursprung (der gaußschen Zahlenebene) mit rationalem Winkel p/q, genau die Punkte der Mandelbrotmenge treffen, wo die 'Birnen' am Hauptkörper 'befestigt' sind.

Dank & Gruß, phi.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt interessant. Ist der Beweis dafür auch konstruktiv, d.h., kann man aus gegebenen p,q eine bzw. mehrere solche Verbindungspunkte bestimmen?

Viel weiß ich nicht über die Mandelbrotmenge, außer dass sie kompakt und zusammenhängend ist, wobei ihr Inneres nicht mehr zusammenhängend ist, sondern in unendlich viele Teile zerfällt. Und dass sie natürlich optisch was hergibt... smile
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kann man.
Der Zusammenhang ergibt sich aus einer Winkel-Verdoppelung (mod 1) und der Grenzyklus-Periode von Punkten c innerhalb der Birnen, wobei ein Winkel als Bruchteil des Kreises dargestellt wird.



Beispiel: verdoppelt ergibt nochmal verdoppelt mod 1 ergibt wieder , also haben sowohl und beide die Periode 2 :=q.

Strahlen mit konstanten Winkel aus dem unendlichen, bzw. ausserhalb des Einheitskreises der komplexen Zahlenebene werden genau auf einen Punkt der Grenze von M (Mandelbrotmenge) abgebildet.

Andererseits hat nämlich in unserem Beispiel die größte Birne (umgangsprachlich der Kopf) -dessen Mittelpunkt z=(-1,0) ist - als Grenzzyklusperiode ebenfalls die Periode 2 und wird deshalb als (1/2)-Birne bezeichnet. (siehe Bild)

http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Mandelbrot-Menge_Koordinatensystem.png

Edit: falls Bild nicht angezeigt wird: Wikipedia weiter unten M mit Koordinatensystem

Diese Abbildung ist ein Isomorphismus.
Was mich nun anfangs verwirrt hat, war dass ich mir die Strahlen, also z.B. den 1/3=120° Strahl bis zum Ursprung durchgezogen vorgestellt habe. So könnte es nie und nimmer an der Wurzel der 1/2-Birne bei z=(-0.75,0) landen.

Des Rätsels Lösung ist, dass das Gebiet ausserhalb von M in der Nähe von M durch die Phasen der Divergierenden Punkte, also durch die Richtung in der sie ins Unendliche wegfliegen, gekrümmt ist.
Die Winkel der Strahlen sind also nur im 'geodätischen' Sinne konstant.

Das war auch die Motivation des Papiers: nämlich die Maße der Birnen und Antennen exakt miteinander vergleichen zu können, um aus rein geometrischen Verhältnissen die Perioden ablesen zu können.

Hier ist ein Link mit Bildern dieser Strahlen: external rays

smile

Wenn du mehr Intresse hast, bzw. noch lust hast mir beim mathematischen Verständniss dieser Isomorphie auf die Sprünge zu helfen, kann ich noch die exakten Definitionen posten.

( Oder hier nachschauen : Arbeitspapier

mfg, phi.
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