Riemann-Integrierbarkeit

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integrierbarkeit
Hallo,

ich sitze hier grade über der folgenden Funktion:



Ich soll schauen, ob g riemann-integrierbar ist.

Nun gut, dass das nicht so ist, sieht man ja schon daran, dass g nicht stetig ist. Ich wollte es aber gerne mit der Definition des Riemann-Integrals direkt machen. Ich habe das nun so gemacht und wollte mal fragen, ob das so ausreichend ist, speziell ob das mit dem Infimum und dem Supremum so genügt.

Also, Vorraussetzung für Riemann-Integrierbarkeit ist ja, dass die Ober- und Untersummen gegen den gleichen Wert konvergieren.

Also , also

Zum Infimum: Es gilt ja: . Da aber auch gilt, dass , ist auch gleichzeitig das Infimum von g.

Analog dann zum Supremum: und da , ist auch das Supremum.

Also gilt:



und



und damit

g ist nicht riemann-integrierbar, die die Ober- und Untersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren.

Reicht das formal so aus? In Hinsicht auf die baldige Klausur möchte ich da noch etwas Sicherheit gewinnen. smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Definiere . Dann ist h die Dirichletfunktion und der von dir gesuchte Beweis steht hier.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Zitat:
Original von Mulder
Ich soll schauen, ob g riemann-integrierbar ist.

Nun gut, dass das nicht so ist, sieht man ja schon daran, dass g nicht stetig ist.

Nebenbei möchte ich anmerken, daß es auch nicht-stetige Funktion gibt, die riemann-integrierbar sind. Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Zitat:
Nebenbei möchte ich anmerken, daß es auch nicht-stetige Funktion gibt, die riemann-integrierbar sind.


Tatsächlich? Hast du mal ein Beispiel parat? geschockt

Hmm... dann war mein Weg ja doch soweit nötig. Die Umkehrung, dass jede stetige Funktion riemann-integrierbar ist, gilt aber, oder? Habe ich hier dann wohl verwechselt...
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Hier findest Du ein Beispiel.

Aber Du kannst auch einfachere Funktionen suchen (bspw. die Signumfunktion), aber diejenigen, die fast überall unstetig sind, sind natürlich lustiger :-).
42 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Hallo,
Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Nebenbei möchte ich anmerken, daß es auch nicht-stetige Funktion gibt, die riemann-integrierbar sind.


Tatsächlich? Hast du mal ein Beispiel parat? geschockt

z.B. die Funktion die du nanntest

Eine Funktion ist R-intgr. <=>

Betrachte mal die Zerlegung 0, 0,5 und 1
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Zitat:
Original von 42
Hallo,
Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Nebenbei möchte ich anmerken, daß es auch nicht-stetige Funktion gibt, die riemann-integrierbar sind.


Tatsächlich? Hast du mal ein Beispiel parat? geschockt

z.B. die Funktion die du nanntest

Eine Funktion ist R-intgr. <=>

Betrachte mal die Zerlegung 0, 0,5 und 1


Wenn du nicht erwähnst was heisst ist das falsch.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Zitat:
Betrachte mal die Zerlegung 0, 0,5 und 1


?

Es heißt doch in deiner Definition, dass eine solche zerlegung für jedes beliebig kleine existieren soll. Was soll denn diese sehr grobe Zerlegung von dir aussagen?

Ich kenne die Riemann-Integrierbarkeit nur unter der Vorraussetzung, dass die Unter- und Obersummen gegen den gleichen Wert konvergieren. Und das können sie hier nicht.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Zitat:
Original von system-agent
Wenn du nicht erwähnst was heisst ist das falsch.

D(f,Z) steht für Obersumme(f, Z) - Untersumme(f,Z) (also Differenz aus beiden)

Satz 4

PS: Wobei die Funktion doch nicht R-intregierbar ist, aber auch darüber leicht zu beweisen (+Zwischenwertsatz).

Zitat:
Nebenbei möchte ich anmerken, daß es auch nicht-stetige Funktion gibt, die riemann-integrierbar sind.

Die Koch-Kurve ist an keinem Punkt stetig, dürfte aber Riemann-Integrierbar sein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 42
Die Koch-Kurve ist an keinem Punkt stetig


geschockt
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 42
Die Koch-Kurve ist an keinem Punkt stetig, dürfte aber Riemann-Integrierbar sein.


Ich darf aus dem von dir erwähnten Link zitieren?
Zitat:
Wikipedia
Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.


Mal ehrlich 42, du hast keine Ahnung wovon du redest, oder?
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

es gelten doch sogar folgende Sätze:

Ist f stetig auf [a,b], dann ist f auch Riemann integrierbar auf [a,b]

sowie

Ist f eine auf [a,b] definierte monotone Funktion. Dann ist f auch auf [a,b] Riemann integrierbar.


Nur mal so als kleine Anmerkung.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Zitat:

Zitat:
Wikipedia
Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.


Mal ehrlich 42, du hast keine Ahnung wovon du redest, oder?

äh natürlich, ups ^^
Naja 23 Uhr ist auch viel zu spät für Mathe.

Naja, dann hier ein anderes Beispiel:


Diese Funktion ist auf [0,1] integrierbar.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich anders ist das ja nicht (siehe meinen Link Augenzwinkern ...). Ausserdem ist Deine Definition der Funktion in null etwas problematisch, weil nicht eindeutig, aber das ist ein Detail.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Hier findest Du ein Beispiel.

Aber Du kannst auch einfachere Funktionen suchen (bspw. die Signumfunktion), aber diejenigen, die fast überall unstetig sind, sind natürlich lustiger :-).


Es gilt der folgende Satz: Eine beschränkte Funktion mit kompaktem Träger ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von f das Lebesgue-Maß 0 hat. In diesem Fall stimmen Riemann-Integral und Lebesgue-Integral überein.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte schwören können, das mein Analysis-Prof damals von "Lebesguescher Nullmenge" gesprochen hat, die er darüber definiert hat, daß es zu jedem epsilon>0 eine Überdeckung mit Intervallen von Gesamtlänge höchstens epsilon gibt. Mit der deutlichen Warnung, daß Satz für Mengen vom Lebesgue-Maß 0 nicht mehr funktioniert. Nun muß ich wohl doch mal drüber nachdenken, ob das dasselbe ist. Ist aber auch schon ein paar Jährchen her, also die Erinnerung kann trügen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mengen, deren Lebesgue-Maß gleich 0 ist, werden Lebesgue-Nullmengen genannt.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal in meinen alten Unterlagen gekramt, den Satz gefunden, und siehe da, er ist tatsächlich falsch. Es gibt auch Riemann-Integrierbare Funktionen mit einer dichten Menge von Unstetigkeitsstellen. Die Mathematik bietet einem halt immer wieder neue Überraschungen.
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