(sin x)/x - Warum stetig in x=0 ? |
| 04.02.2008, 15:31 | The_Unknown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| (sin x)/x - Warum stetig in x=0 ? ich hätte da mal folgende Frage zur Funktion (sin x)/x: Die ist ja stetig in x=0, weil der rechts und der linksseitige Grenzwert 1 ist (in x=0). Nur war nicht immer Bedingung für Stetigkeit in einer Stelle x, dass die Funktion in x definiert sein muss ? Ich habe bestimmt nur einen Denkfehler drin. Wäre cool, wenn jemand helfen könnte. Ciao The_Unknown |
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| 04.02.2008, 15:37 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: (sin x)/x - Warum stetig in x=0 ?
Du hast recht. Deshalb ist die Funktion dort zwar nicht stetig, kann aber stetig ergänzt werden. |
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| 04.02.2008, 15:40 | The_Unknown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das verwirrt mich jetzt aber. Angenommen, in einer Klausur steht die kurze Frage: Ist (sin x)/x stetig auf R ? Da müsste ich dann sagen: Nein, nicht stetig, nur stetig in R / {0}, richtig ? Nur seltsam ist, dass man Stetigkeit auch durch ein "Zeichnen der Funktion ohne Absetzen" charakteriesieren kann, was hier wiederum geht. Und damit eine Funktion in einem Intervall diff-bar ist, muss sie doch stetig in diesem Interval sein, oder nicht ? Das würde doch praktisch bedeuten, dass diese Funktion nicht differenzierbar ist auf dem ganzen R ? |
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| 04.02.2008, 15:50 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die anschauliche Hilfsdarstellung "Zeichen ohne Abzusetzten" ist nicht ganz richtig. Man könnte Funktionen konstruieren die auf ihrem Definitionsbereich stetig sind sich allerdings, ebenfalls wegen des def-bereiches nicht in einem Strich Zeichnen liesen. eine Funktion die Differenzierbar ist ist stetig, die Umkehrung gilt nicht! |
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| 04.02.2008, 16:01 | The_Unknown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommt das hin ? |
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| 04.02.2008, 16:03 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig, allerdings würde ich nicht sagen "nein, nicht stetig, nur auf..." sondern in Form "Nein, nicht stetig, weil ..." Probiers mal damit zu formulieren! |
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| 04.02.2008, 16:12 | The_Unknown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich würde sagen: Die Funktion ist nicht auf R stetig, weil die Funktion an der Stelle x= 0 nicht definiert ist. Daher ist die Funktion nur auf dem Interval R \ {0} stetig. Aber könnte man nicht auch so argumentieren: Die Funktion ist auf R stetig. An der Stelle x=0 ist sie auch stetig, da der rechts und linksseitige Grenzwert gleich 1 ist. |
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| 04.02.2008, 16:15 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
würde man vielleicht nicht gerade als Intervall bezeichnen 
Für die Stetigkeit muss der links- und rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sein, aber zudem muss noch der Funktionswert an ebendieser Stelle mit dem Grenzwert übereinstimmen. Und zunächst ist die Funktion an der Stelle Null nicht definiert. |
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| 04.02.2008, 16:17 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stetigkeit macht nur Sinn an Stellen an denen f definiert ist! |
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| 04.02.2008, 16:24 | The_Unknown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Also muss der linksseitige GW dem rechtsseitigen GW gleich sein und dieser GW muss dann auch noch f(x_0) sein. Erst dann ist sie stetig. Also wäre zusammenfassend die Funktion (sin x)/x nicht stetig bzw. stetig im Interval 
. Alles richtig ? |
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| 04.02.2008, 16:28 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Über ganz |R definiert es nichtmal eine Funktion, ganz einfach. Eine Funktion, die glücklicherweise auch stetig ist. definiert es mit der Def.-Menge |R \ {0}. (Was wie gesagt kein Intervall ist). air |
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| 04.02.2008, 20:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will das nur nochmal aufgreifen, um sicher zu gehen, dass du da keinen Denkfehler hast. Auch Differenzierbarkeit ist eine Aussage, die nur für Punkte des Definitionsbereichs Sinn macht bzw. definiert ist. Die Funktion ist also zwar nicht auf ganz , dafür aber auf den beiden Intervallen und differenzierbar. |
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| 16.02.2008, 16:03 | The_Unknown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Alles klaro
Ist schon eine diffizile Angelegenheit diese Stetigkeitsprobleme
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