Tennisballpyramide [gelöst]

25.07.2005, 13:21

newsundown

Tennisballpyramide [gelöst]

Angenommen wir erstellen eine Pyramide aus Tennisbällen (zuoberst einen, darunter 3 etc.) und wir stapeln genau 100 Ebenen aufeinander...
a. wie viele Bälle brauchen wir dazu insgesamt
b. wie viele Bälle befinden sich in der untersten Ebene

25.07.2005, 14:15

navajo

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Huhu,

wenn ich das richtig sehe, dann muss man bei jeder Schicht einfach eine Reihe mehr dranpacken, als wie bei der Ebene da drüber dran ist. Die muss dann immer um 1 länger sein, als die vorher längste Reihe.

Also bräuchte man insgesamt
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{100}{\sum_{i=1}^{n}{i}}=171700 \end{eqnarray*}$ Bälle.

Und in der untersten Schicht wären dann einfach
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{100}=5050 \end{eqnarray*}$ Bälle.

25.07.2005, 14:38

sommer87

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Ich hatte mit das so gedacht:

Die Pyramide hatte ich mir jetzt so vorgestellt:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	o ooo ooooo ooooooo ooooooooo . . .

In der ersten Reihe gibt es 1 Kugel (+0 Kugeln)
In der zweiten Reihe gibt es dann zwei Kugeln mehr, also 2+1 Kugeln (=3).
In der dritten Reihe kommen dann wieder zwei Kugeln dazu, also 3+2 Kugeln (=5).
Reihe 4 dann 5+2 Kugeln (oder 4+3).
Das Ganze läuft dann immer weiter bis zu 100+99 Kugeln (=199) für die letzte Zeile.

Also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{100}~k+k-1 = 10.000 \end{eqnarray*}$

oder nach Gauß:

code:
1: 2: 3: 4:	1 + 2 + 3 + ... + 99 +100 + 99 + 98 + 97 + ... + 1 + 0 ______________________________ 100 +100 +100 + ... +100 +100 = 100 * 100 = 10.000 Kugeln

25.07.2005, 14:58

newsundown

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@sommer87

soll ja pyramide werden und kein dreieck...

stell dir die anfangsposition beim billard vor...alle kugeln liegen im dreieck...und da packst du noch kugeln drauf, bis oben nur noch eine liegt...und das ganze nach unten auch, bis du 100schichten von dreiecken hast

25.07.2005, 15:00

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Ich neige ja mehr zu navajos Auffassung: Die n-te vertikale Schicht der Pyramide (von oben gezählt) ist ein Dreieck, bestehend aus

$\begin{eqnarray*} a_n=\sum\limits_{i=1}^n~i={n+1 \choose 2} \end{eqnarray*}$

Bällen. Und die aus insgesamt n Schichten bestehende Pyramide enthält dann genau

$\begin{eqnarray*} b_n=\sum\limits_{i=1}^n~a_i={n+2 \choose 3} \end{eqnarray*}$

Bälle. n=100 ergibt die oben von navajo angegebenen 171700 Bälle.

P.S.: Mathematisch lässt sich das Spiel fortsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n~{i+k-1 \choose k} = {n+k \choose k+1} \end{eqnarray*}$

gilt für alle positiven ganzen Zahlen n und k. Allerdings kann man sich vier-, fünf- usw. -dimensionale Bälle nur schwer geometrisch vorstellen... Augenzwinkern