Dichte bestimmen

04.02.2008, 21:07

Marie20

Dichte bestimmen

Guten Abend,

grübel grade an folgender Aufgabe und komme einfach nicht dahinter:

Es seien X und Y unabhängige Zuvallsvariablen. X sei gleichverteilt auf (-1,1) und Y sei exponentialverteilt mit Parameter 2. Bestimme die Dichte von X+Y.

Mir ist klar, dass ich falten muss, um die Dichte zu bekommen. Aber wie das funktioniert ist mir ein Rätsel!

Also X ist gleichverteilt, heißt f(x)=1/2 auf dem Intervall (-1,1) als Grenzen fürs Integral.
Y ist exp-verteilt, heißt g(x)=2*exp(-2*x) auf dem Intervall (0,\infty ) als Grenzen fürs Integral.
Ich weiß auch, dass (f*g)(z)=\int_{-\infty }^{\infty }~f(x)*g(z-x)~dx gilt. Aber wie fügt man das alles zusammen?

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen würde!!!

04.02.2008, 21:33

Ambrosius

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Einfach einsetzen und ausrechnen.

Setze doch einfach mal deine Dichten in die Faltungs-Formel ein

04.02.2008, 21:38

WebFritzi

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Dort, wo die Dichten nicht definiert sind, setze sie Null.

04.02.2008, 22:06

Fletcher

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Guten Abend,

die Aufgabe interessiert mich auch. So einfach wie das vielleicht auch klingen mag, aber wie berechnet man das Integral dort wo es defniert ist?

Die Fallunterscheidung ist mir dabei nicht klar und wie man die Grenzen setzen muss.

04.02.2008, 22:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
So einfach wie das vielleicht auch klingen mag, aber wie berechnet man das Integral dort wo es defniert ist?

Ich verstehe dich nicht.

04.02.2008, 22:16

Ambrosius

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schreib die Dichten mal in der Form

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \cdot I_{(-1,1)} (x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x) = 2 \cdot e^{-2x} \cdot I_{(0,\infty)} (x) \end{eqnarray*}$

dies setzt du in die Formel ein. Durch die Indikatorfunktion ergeben sich die Integrationsgrenzen und dann ists nur noch ne Rechnung

04.02.2008, 22:38

Fletcher

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Nun ja:
$\begin{eqnarray*} (f * g)(z)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}1_{(-1<x<1)}2 e^{-2 (z-x)}1_{(0<z-x<\infty)}~dx = \frac{1}{2} 2 e^{-2z}\int_{-1}^{1}e^{(2x)}1_{(0<z-x<\infty)}~dx \end{eqnarray*}$

Und an dieser Stelle komme ich z.b. nicht mehr weiter. Was jetzt, ich weiß das es um eine Fallunterscheidung geht, aber wie?

04.02.2008, 22:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} 2 e^{-2z}\int_{-1}^{1}e^{(2x)}1_{(0<z-x<\infty)}~dx \end{eqnarray*}$

Das ist ja auch Quatsch. Es muss lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} 2 e^{-2z}\int_{-1}^{1}e^{(2x)}1_{(0,\infty)}(z-x)~dx \end{eqnarray*}$

06.02.2008, 21:03

Fletcher

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das war kein quatsch, weil du das auch so schreiben kannst, und das sage nicht nur ich Augenzwinkern

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