Höhenfußpunkt

26.07.2005, 17:18	Nadine1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhenfußpunkt Hallo ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Gegeben sind die Punkte: A (6/2/-2) B (1/2/-2) C (1/-2/1) D (6/-2/1) a.) Gib eine Ebenengleichung der Ebene ABD E: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ E: 15y + 20z = -10 => E: 3y + 4z = -2 $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b.) Weise nach das C in der Ebene liegt. Hab ich gemacht - stimmt auch. c.) Handelt es sich bei dem Viereck ABCD um ein Quadrat oder eine Raute? - es ist ein Quadrat, der Betrag der Vektoren: AB = BC = CD = DA = 5. Außerdem schneiden sich jeweils AB und CB, CB und CD, CD und AD, sowie AB und AD in einem rechten Winkel. d.) Berechne den Diagonalenschnittpunkt des Quadrats. Das ist M( 3,5/0, 0,5). f.) S (5/3/3,5) sei die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD Gesucht ist der Höhenfußpunkt F. Und hier weiß ich nicht weiter. Der Punkt M kann nicht der Höhenfußpunkt sein, da der Vektor MS die Ebene nicht im rechten Winkel schneidet. Ich weiß nur, das F in der Ebene liegen muss und somit die Koordinaten F (6 - 5s / 2 - 4t / -2 + 3t) hat. Der Abstand den S von der Ebene hat ist 5 LE. Also ist $\begin{eqnarray} \mid \vec{FS} \mid \end{eqnarray}$ = 5 $\begin{eqnarray} \vec{FS}= \begin{pmatrix} -1 + 5s \\ 1 + 4t \\ 5,5 - 3t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dadurch komme ich auf die Gleichung: 25 = 32,25 - 10s + 25s^2 - 25t + 25 t^2 1 = 1,29 - 0,4s + s^2 - t + t^2 Außerdem weiß ich noch, dass der Schnittwinkel zwischen FS und der Ebene 90° sein muss. Also gilt außerdem sin (alpha) = 1. Wenn ich dann den Winkle zwischen dem Normalenvektor und Vektor FS berechnen will komme ich wieder auf die obige Gleichung. Mein Problem ist das die Gleichung sowohl s, als auch t enthält und mir nix mehr einfällt, was ich noch beachten muss. Ich habe allerdings die Vermutung das der Höhenfußpunkt außerhalb des Quadrates ABCD liegt, da ich auch weiß, das die Pyramide schief ist (hab sie konstruiert). Für nen kleinen Denkanstoß, wäre ich sehr dankbar.
26.07.2005, 17:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höhenfußpunkt lege durch S eine gerade g zu E: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3.5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ geschnitten mit E gibt t = -1 und F(5/0/-0.5) wenn ich mich nicht verrechnet habe werner
26.07.2005, 17:59	Nadine1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste stimmen, aber wie bist du auf den Richtungsvektor der Gerade gekommen? Könnte das auch ein anderer sein? Danke erst mal.
26.07.2005, 18:03	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
der richtungsvektor der gerade ist der normalenvektor der ebene! weil die gerade ja senkrecht auf der ebene stehen soll/ muß!
26.07.2005, 18:04	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
die gerade steht senkrecht auf die ebene E, also ist der richtungsvektor der geraden = normalenvektor der ebene E, den hast du eh selbst ausgerechnet werner

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