beweis für eine Grenzwertaufgabe

26.07.2005, 23:37

matheLernen

beweis für eine Grenzwertaufgabe

liebe Leute,

Ich habe Problem mit der Aufgabe:

Beweis: lim [(cos h - 1)/h] =0 (davon h läuft gegen 0 )

Bitte hilf mir, gibt mir einige Hinweise Hilfe

Ich wäre dafür sehr dankbar!

P.S: Ich weiß nicht, wie ich den Titel des Topics formulieren soll, bitte korrigiere ihn für mich, wenn er so doof klingt Hammer

26.07.2005, 23:42

Mathespezialschüler

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Hallo!
Du willst also

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 \end{eqnarray*}$

beweisen. Dafür gibt es viele Möglichkeiten, aber erstmal müssen wir wissen, wie der Cosinus bei euch definiert ist bzw. was du schon über ihn weißt. Kennst du z.B. die Potenzreihe des Cosinus?

Gruß MSS

27.07.2005, 00:15

matheLernen

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Danke dir MSS,

Sorry, ich weiß noch nicht, was Potenzreihe von Cosinnus ist unglücklich

Über cosinus weiß ich:

cos = ankathete/hypotenuse
-1<=cos x<=1

-cos in der Einheitskreis
- Cosinussatz
-die Formel: cos(x+h)= cos x * cos h - sin x * sin h

27.07.2005, 00:25

Mathespezialschüler

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Der Cosinus ist also geometrisch definiert, aha. Dass du die Formel kennst, ist schonmal sehr gut! Kennst du auch die Darstellung von sin und cos am Einheitskreis?
Zuallererst müssen wir nun

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 \end{eqnarray*}$

nachweisen. Das ist nicht ganz so einfach. Oder weißt du das vll schon? Das wäre am besten ...
Wenn nicht, dann müssten wir das beweisen. Das geht über einen Flächenvergleich am Einheitskreis. Dazu müsste ich dann aber erstmal ne Zeichnung machen ...

Gruß MSS

27.07.2005, 00:28

Trazom

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Regel von L'Hospital anwenden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Darf man solange anwenden, bis man einen definierten Ausdruck hat, also nicht so etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ .

27.07.2005, 00:30

Mathespezialschüler

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@Trazom
Wahrscheinlich kennt er/sie die Ableitung vom cos noch nicht. Denn würde er/sie sie kennen, dann wüsste sie (hoffentlich) sofort

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=\cos'0=-\sin 0=0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

27.07.2005, 00:33

matheLernen

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dear MSS,

die Formel: $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 \end{eqnarray*}$

kenne ich smile

Ich habe das Beweis darüber gelesen.

Aber ich finde trotzdem keinen Weg für das Beweisen der Formel mit cosinus :-s Ich bin doof unglücklich

27.07.2005, 00:37

Mathespezialschüler

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Du bist nicht doof Augenzwinkern

Erweitere doch

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos h-1}{h} \end{eqnarray*}$

mal mit $\begin{eqnarray*} \cos h+1 \end{eqnarray*}$ . So dürfte es wohl am einfachsten gehen.

Gruß MSS

27.07.2005, 00:55

matheLernen

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aaaaaaa, danke dir megamalss

Nach der Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} \cos h+1 \end{eqnarray*}$ habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos^2 h-1}{h*(cos h+1)} = \frac{-sin^2 h}{h*(cos h+1)} = - \frac{2* sin h}{h*(cos h+1)} \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} sin h=0 \end{eqnarray*}$ => die Anfangsformel ist gleich =0
Ist es richtig so? :P

Aber ich habe noch eine Frage:

Du hast so geschrieben:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Trazom
Wahrscheinlich kennt er/sie die Ableitung vom cos noch nicht. Denn würde er/sie sie kennen, dann wüsste sie (hoffentlich) sofort

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=\cos'0=-\sin 0=0 \end{eqnarray*}$ .

Warum: $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=\cos'0 \end{eqnarray*}$ ? :-s

viel Grüße,
matheLernen

edit: latex-Code verbessert. (MSS)

27.07.2005, 01:02

Mathespezialschüler

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Fast. $\begin{eqnarray*} \sin^2h=2\sin h \end{eqnarray*}$ stimmt natürlich nicht, aber ich glaube, du hast das richtige Argument:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\sin^2 h}{h\cdot (\cos h+1)}=-\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h+1}\to -1\cdot \frac{0}{2}=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ . So ungefähr hast du das doch gedacht oder?
Kennst du die Definition der Ableitung einer Funktion in einem Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt differenzierbar im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , falls der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

existiert. Man schreibt

$\begin{eqnarray*} f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

und nennt $\begin{eqnarray*} f'(a) \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Nehmen wir $\begin{eqnarray*} f=\cos \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} \cos'0=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(0+h)-\cos 0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} \end{eqnarray*}$

Mehr steckt nicht dahinter! Augenzwinkern

Gruß MSS

27.07.2005, 01:16

matheLernen

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wow, du bist zu gut! Der Name: MatheSpezialSchüler passt zu dir wirklich Freude

Ich habe alles kapiert, außer Latex commands (die habe ich größer Teil von dir nachgemacht :P )

Noch ein Problem habe ich hix :

Ich habe versuchen, die Formel :

$\begin{eqnarray*} sin(x+h)=sin x*cos h + sin h * cos x \end{eqnarray*}$
zu beweisen.

Aber es gelangt bei mir nicht :| Ich habe die Einheitskreis mit sinus, cosinus, winkel x, h gezeichnet und noch so was dummes gemacht. Aber es kommt nichts :-s

Bitte hilf mir

vielen Dank!!!!!

mfg,
matheLernen

27.07.2005, 01:25

Mathespezialschüler

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Guck mal hier. smile

Wenn du aber die Formel für $\begin{eqnarray*} \cos(x+h) \end{eqnarray*}$ benutzen kannst, dann geht es auch einfacher:

$\begin{eqnarray*} \sin(x+h)=\cos(x+(h-\pi)) \end{eqnarray*}$

und jetzt Additionstheorem des cos anwenden.

Gruß MSS

27.07.2005, 01:38

matheLernen

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Vielen Dank MSS!!!

Warum kannst du Mathe so gut? Hast du ein Lernmethode?
Ich kann nur die Lösung der anderen verstehen , aber den Weg zur Lösung kann ich nicht finden traurig

viele Grüße,
matheLernen

27.07.2005, 13:02

brunsi

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er kann es weil er einfach mathe versteht. schau mal in sein profil, dann weißt du weshalb er so gut ist!!

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