Dreieck mit Kreisen |
21.03.2004, 23:39 | acro | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dreieck mit Kreisen kann mir vielleicht einer helfen bei dieser Aufgabe? Aufgabenstellung: 1)Beweise: 2)Wie viel % der Dreiecksfläche, nehmen die Kreise ein? Keine Verwendung von Sin, Cos & Tangens in den Rechnungen |
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22.03.2004, 00:29 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ausgehend davon, dass es sich hier um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist die Lösung folgendermaßen: erhält man durch Pythagoras: Jetzt können wir rechnen: Gruß tesat |
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22.03.2004, 09:43 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Dreieck mit Kreisen Erst mal ein paar Bezeichnungen einführen. Die Ecken des Dreiecks seien in der üblichen Form gegen den Uhrzeigersinn mit A, B, C bezeichnet. Die Mittelpunkte der 3 Kreise, jeweils an den Ecken orientiert mit Ma, Mb, Mc. Offensichtlich ist dabei MaMb=MbMc=McMa=2r und bildet ein innliegendes 'konzentrisches' gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2r. Mittelsenkrechte von AC, Winkelhabierende beta und Höhe Hb fallen dabei z.B. zusammen. Diese Höhe Hb setzt sich offensichtl. zusammen aus: Strecke BMb + Höhe Mb (Höhe im MittelpunktsDreieck) + r (=Abstand MaMc zu AC) Wegen Winkel ABMb = 30° ist Strecke BMb =2r (B,Mb und Senkrechte von Mb auf AB bilden ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2*(Senkrechte von Mb auf AB) = 2*r) Damit ergibt sich folgende Beziehung: Hb=(a/2)*sqrt(3) = 2r + (2r/2)*sqrt(3) +r = r( 3 +sqrt(3)) r= (a/2)*sqrt(3)/(3+sqrt(3)) | Erweiterung mit 3-sqrt(3) .... r= (a/2)*(1/6)*(3*sqrt(3)-3)= (a/4)*(sqrt(3)-1) Für die Flächen ergibt sich: F(Dreieck)=(a²/4)*sqrt(3) F(Kreise) = (a²/16)*(sqrt(3)-1)² *Pi*3 F(K)/F(D)*100% = ...... =(Pi/2)*(2*sqrt(3)-3)*100% =72,9009 % bisschen viel Rechnerei um 'nichts', darf ... auch MAL sein .. .... |
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22.03.2004, 22:17 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » |
diese Aufgabe hatten wir auch mal in der Schule, abr die hat niemand geschafft...soweit ich weiss (war ja auch vor 2.5 Jahren...) ich muss mich da nochmal eindenken, dann kann ich die vielleicht selbst noch lösen mfg |
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23.03.2004, 10:29 | acro | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Dreieck mit Kreisen Danke an alle die mir helfen. |
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29.03.2004, 02:40 | Mr.Hood | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Dreieck mit Kreisen Hi! Poff hat die Lösung ja schon angegeben, aber wenn es noch interessiert hier noch mal eine andere Lösung. file:///C:/Dokumente%20und%20Einstellungen/Mr.Hood/Eigene%20Dateien/Mysite%20folder/Mysite/dreieck3innkreiss3_k.png Wir verbinden die Mittelpunkte der 3 Innkreise. Die Höhe des äußeren gleichseitigen Dreiecks beträgt: ha = 1/2 · a · sqrt(3) Die Höhe des inneren gleichseitigen Dreieicks beträgt: hi = 1/2 · 2 · r · sqrt(3) = r · sqrt(3) Der Schwerpunkt der Beiden gleichseitigen Dreieicke ist der Selbe. Sa = Schwerpunkt des äußeren Dreiecks Sa = 1/3 · ha = 1/3 · 1/2 · a · sqrt(3) = 1/6· a · sqrt(3) Si = Schwerpunkt des inneren Dreiecks Si = 1/3 · hi = 1/3 · r · sqrt(3) Es gilt die Beziehung: Sa = Si + r 1/6 · a · sqrt(3) = 1/3 · r · sqrt(3) +r |·3 1/2·a · sqrt(3) = r · sqrt(3) + 3·r = r · (3 - sqrt(3)) nach r umgestellt => r = 1/2·a·sqrt(3)/(3+sqrt(3)) | ·(3-sqrt3))/(3-sqrt(3)) r = 3/2 · a ·sqrt(3) - 3/2 · a / 3·3 + 3·sqrt(3)-3·sqrt(3)-3 r = 3/2 · a ·(sqrt(3)-1)/6 r = 3/12 · a · (sqrt(3)-1) r = 1/4 · a · sqrt(3)-1 q.e.d. zu 2) Wie viel % der Dreiecksfläche, nehmen die Kreise ein? AKreise = 3 · pi · r² = 3 · pi · 1/16 · a² · (3 - 2sqrt(3) +1) ADreieck = 1/2 a · h = 1/4 · a² · sqrt(3) AKreise / ADreieck = 3 · pi · 1/16 · a² · (3 - 2sqrt(3) +1) / 1/4 · a² · sqrt(3) = 1/4 · pi · sqrt(3) · (3 - 2sqrt(3) +1) = > ans · 100% = 72.9009% |
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