Dreieck mit Kreisen

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acro Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck mit Kreisen
Hallo,
kann mir vielleicht einer helfen bei dieser Aufgabe?

Aufgabenstellung:
1)Beweise:
2)Wie viel % der Dreiecksfläche, nehmen die Kreise ein?

Keine Verwendung von Sin, Cos & Tangens in den Rechnungen
tesat Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgehend davon, dass es sich hier um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist die Lösung folgendermaßen:


erhält man durch Pythagoras:



Jetzt können wir rechnen:





Gruß tesat
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck mit Kreisen
Erst mal ein paar Bezeichnungen einführen.

Die Ecken des Dreiecks seien in der üblichen Form gegen den
Uhrzeigersinn mit A, B, C bezeichnet. Die Mittelpunkte der 3 Kreise,
jeweils an den Ecken orientiert mit Ma, Mb, Mc.
Offensichtlich ist dabei MaMb=MbMc=McMa=2r und bildet ein
innliegendes 'konzentrisches' gleichseitiges Dreieck mit
der Seitenlänge 2r.

Mittelsenkrechte von AC, Winkelhabierende beta und Höhe Hb
fallen dabei z.B. zusammen.

Diese Höhe Hb setzt sich offensichtl. zusammen aus:
Strecke BMb + Höhe Mb (Höhe im MittelpunktsDreieck) + r (=Abstand
MaMc zu AC)
Wegen Winkel ABMb = 30° ist Strecke BMb =2r
(B,Mb und Senkrechte von Mb auf AB bilden ein halbes gleichseitiges
Dreieck mit Seitenlänge 2*(Senkrechte von Mb auf AB) = 2*r)

Damit ergibt sich folgende Beziehung:
Hb=(a/2)*sqrt(3) = 2r + (2r/2)*sqrt(3) +r = r( 3 +sqrt(3))
r= (a/2)*sqrt(3)/(3+sqrt(3)) | Erweiterung mit 3-sqrt(3) ....
r= (a/2)*(1/6)*(3*sqrt(3)-3)= (a/4)*(sqrt(3)-1)

Für die Flächen ergibt sich:
F(Dreieck)=(a²/4)*sqrt(3)
F(Kreise) = (a²/16)*(sqrt(3)-1)² *Pi*3

F(K)/F(D)*100% = ...... =(Pi/2)*(2*sqrt(3)-3)*100% =72,9009 %

bisschen viel Rechnerei um 'nichts', verwirrt

darf ... auch MAL sein .. Augenzwinkern
....
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

diese Aufgabe hatten wir auch mal in der Schule, abr die hat niemand geschafft...soweit ich weiss Augenzwinkern (war ja auch vor 2.5 Jahren...)

ich muss mich da nochmal eindenken, dann kann ich die vielleicht selbst noch lösen Augenzwinkern

mfg
acro Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck mit Kreisen
Danke an alle die mir helfen.
Mr.Hood Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck mit Kreisen
Hi!
Poff hat die Lösung ja schon angegeben, aber wenn es noch interessiert
hier noch mal eine andere Lösung.

file:///C:/Dokumente%20und%20Einstellungen/Mr.Hood/Eigene%20Dateien/Mysite%20folder/Mysite/dreieck3innkreiss3_k.png

Wir verbinden die Mittelpunkte der 3 Innkreise.
Die Höhe des äußeren gleichseitigen Dreiecks beträgt:
ha = 1/2 · a · sqrt(3)
Die Höhe des inneren gleichseitigen Dreieicks beträgt:
hi = 1/2 · 2 · r · sqrt(3) = r · sqrt(3)

Der Schwerpunkt der Beiden gleichseitigen Dreieicke ist der Selbe.
Sa = Schwerpunkt des äußeren Dreiecks
Sa = 1/3 · ha = 1/3 · 1/2 · a · sqrt(3) = 1/6· a · sqrt(3)
Si = Schwerpunkt des inneren Dreiecks
Si = 1/3 · hi = 1/3 · r · sqrt(3)
Es gilt die Beziehung:
Sa = Si + r
1/6 · a · sqrt(3) = 1/3 · r · sqrt(3) +r |·3
1/2·a · sqrt(3) = r · sqrt(3) + 3·r = r · (3 - sqrt(3))
nach r umgestellt
=> r = 1/2·a·sqrt(3)/(3+sqrt(3)) | ·(3-sqrt3))/(3-sqrt(3))
r = 3/2 · a ·sqrt(3) - 3/2 · a / 3·3 + 3·sqrt(3)-3·sqrt(3)-3
r = 3/2 · a ·(sqrt(3)-1)/6
r = 3/12 · a · (sqrt(3)-1)
r = 1/4 · a · sqrt(3)-1
q.e.d.

zu 2) Wie viel % der Dreiecksfläche, nehmen die Kreise ein?

AKreise = 3 · pi · r²
= 3 · pi · 1/16 · a² · (3 - 2sqrt(3) +1)

ADreieck = 1/2 a · h = 1/4 · a² · sqrt(3)

AKreise / ADreieck = 3 · pi · 1/16 · a² · (3 - 2sqrt(3) +1) / 1/4 · a² · sqrt(3)
= 1/4 · pi · sqrt(3) · (3 - 2sqrt(3) +1)
= > ans · 100% = 72.9009%
 
 
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