ableitung

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05.02.2008, 09:59	fari	Auf diesen Beitrag antworten »
ableitung hallo community, kann mir einer bitte sagen, warum in der ableitung der faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ verschwindet? $\begin{eqnarray} U=\frac{1}{2}\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu}}u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)D_{\mu\nu}\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{\partial U}{\partial u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)}=-\sum_{\vec{R}_j,\nu}D_{\mu\nu}\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right) \end{eqnarray}$ danke! gruss fari
05.02.2008, 10:08	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung Dazu müsstest du uns wissen lassen, ob $\begin{eqnarray} u_\nu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_{\mu\nu} \end{eqnarray}$ kommutieren. Noch besser wäre es, wenn du die Definitionen der betreffenden Funktionen postest. Auch finde ich die Reihenindizierung unverständlich. Edit: Nach genauerer Betrachtung drängen sich mir folgende Vermutungen auf: 1. Das Summenzeichen bezieht sich im Wesentlichen auf die Summierung über i und j. 2. Der Index $\begin{eqnarray} \mu,\nu \end{eqnarray}$ unter der ersten Reihe soll an die Summenkonvention (über gleiche Indizes wird summiert) erinnern. 3. $\begin{eqnarray} D_{\mu\nu}(R_i-R_j)= D_{\mu\nu}(R_j-R_i). \end{eqnarray}$ Diese müsstest du nun erstmal bestätigen oder negieren.
05.02.2008, 10:35	fari	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung ok. danke! habs vestanden. die beiden kommutieren nicht! daher kommt dann irgendwannmal der 2 hinzu... gruss fari
05.02.2008, 10:38	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung Das wird nicht (ausschließlich) der Grund sein, fari. Evtl. ist aber meine 3. Vermutung der Grund für den Faktor 2.
05.02.2008, 10:51	fari	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung hi dual, ja das stimmt! es gilt: $\begin{eqnarray} D_{\mu\nu}(R_i-R_j)= D_{\mu\nu}(R_j-R_i). \end{eqnarray}$ darf man deswegen eine 2 vorschreiben? gruss fari
05.02.2008, 11:06	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung Mal ausführlich: $\begin{eqnarray} \frac{\partial U}{\partial u_{\mu}\left(R_i\right)}&=&\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}D_{\mu\nu}\left(R_i - R_j\right)u_{\nu}\left(R_j\right)\\ &=&\frac{1}{2}\left[\sum_{i< j}D_{\mu\nu}\left(R_i - R_j\right)u_{\nu}\left(R_j\right)+\sum_{i>j}D_{\mu\nu}\left(R_i - R_j\right)u_{\nu}\left(R_j\right)\right]\\ &\overset{()}{=}& \frac{1}{2}\left[2\sum_{i< j}D_{\mu\nu}\left(R_i - R_j\right)u_{\nu}\left(R_j\right)\right] \end{eqnarray}$ Dabei gilt () wegen Vermutung 3. Das erklärt allerdings immer noch nicht diese fragwürdigen Indizes an den Reihen.
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05.02.2008, 11:19	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung Stop stop stop ... ignorier meinen letzten Post bitte kurz, denn so stimmt das noch nicht. Gilt evtl. auch noch $\begin{eqnarray} D_{\mu\nu}(0)=0 \end{eqnarray}$ ?
27.02.2008, 17:21	fari	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung hi dual space, nicht ganz. es gilt $\begin{eqnarray} \sum_iD_{\mu\nu}(\vec{R}_i)=0 \end{eqnarray}$ . das ist ja nicht das gleiche, oder? kannst du mir bitte sagen, was in deinem letzten post noch nicht stimmt? danke! gruss fari
27.02.2008, 19:18	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung Mmm ... jetzt muss ich selber noch mal schauen, was ich dort gerechnet habe (ist ja schon eine Weile her ). Ich würde sagen so stimmts jetzt.
28.02.2008, 14:34	fari	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ableitung hi, so wie du das gemacht hast, hab ich es schon verstanden. nur die indizes unter der summe stimmen einfach nicht überein. also das potential und die ableitung davon hab ich im 'ashcroft/mermin-solid state physics' gefunden auf seite 437/438 bzw. gleichung (22.45) und (22.53)... trotzdem danke! gruss fari

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