Metriken

27.07.2005, 21:43

creasy

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Metriken

Hallo

Bräuchte mal Hilfe.
Ich soll beweisen oder widerlegen, dass es sich bei
$\begin{eqnarray*} d(x,y) = (x-y)^{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \sqrt{\mid x-y \mid} \end{eqnarray*}$
um Metriken handelt.

Ich meine die erste ist keine und die zweite ist eine. verwirrt

verwirrt

Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich die Dreiecksungleichung zeigen kann. Hammer

Hammer

27.07.2005, 21:44

Egal

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Also geht es nur noch um die Dreiecksungleichung und die anderen Eigenschaften sind dir schon klar?

27.07.2005, 21:47

creasy

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Jap

27.07.2005, 21:50

creasy

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Für die erste Metrik hab ich glaube ich ein Gegenbeispiel gefunden, für das die Dreiecksungleichung nicht gilt.
$\begin{eqnarray*} d(4,0)\leq d(4,2) + d(2,0) \end{eqnarray*}$
Richtig??

Ich habe noch eine weitere Metrik, bei der ich an der Dreiecksungleichung festhänge:
$\begin{eqnarray*} d(x,y)= \frac{\mid x-y \mid }{ 2 + \mid x-y \mid} \end{eqnarray*}$

Doppeltpost zusammengefügt. Bitte nutze die Edit-Funktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

iammrvip

27.07.2005, 22:35

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Zum Beweis, dass $\begin{eqnarray*} d(x,y) = \sqrt{|x-y|} \end{eqnarray*}$ eine Metrik ist:

$\begin{eqnarray*} d(x,y)+d(y,z) &=& \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|} = \sqrt{|x-y|+|y-z|+2\sqrt{|x-y|\cdot |y-z|}}\\ &\geq& \sqrt{|x-y|+|y-z|} \geq \sqrt{|x-z|} = d(x,z) \end{eqnarray*}$

Und was $\begin{eqnarray*} d(x,y)= \frac{\mid x-y \mid }{ 2 + \mid x-y \mid} \end{eqnarray*}$ betrifft:
Da hab ich hier schon irgendwann mal einen Thread dazu gesehen... verwirrt

verwirrt

Musst du mal suchen!

27.07.2005, 22:43

creasy

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Danke

Freude

Hab den Thread auch schon gefunden.
Bastle gerade an der Aufgabe da bei mir ein 2 statt eine 1 im Nenner steht.

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27.07.2005, 22:46

sqrt(2)

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Zitat:

Original von creasy
Für die erste Metrik hab ich glaube ich ein Gegenbeispiel gefunden, für das die Dreiecksungleichung nicht gilt.
$\begin{eqnarray*} d(4,0)\leq d(4,2) + d(2,0) \end{eqnarray*}$

Das ist ein Beispiel dafür, dass sie in diesem Fall gilt. Mit $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ wirst du mehr Erfolg haben.

27.07.2005, 22:47

creasy

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Hab da aber doch noch eine Frage zu deiner Lösung:
Wie kommst du auf die große Wurzel, also das zweite Gleichheitszeichen??

27.07.2005, 22:52

Egal

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Das ist binomische Formel

27.07.2005, 22:54

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Wurzel aus binomischer Formel:

$\begin{eqnarray*} a+b=\sqrt{(a+b)^2}=\sqrt{a^2+b^2+2ab} \end{eqnarray*}$

Übrigens fallen alle diese Metriken in die allgemeinere Kategorie:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} q:\;\mathbb{R}_+ \to\mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ eine streng monoton wachsende Funktion mit $\begin{eqnarray*} q(0)=0 \end{eqnarray*}$ und der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \frac{q(x)}{x} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist. Ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine Metrik, dann ist auch $\begin{eqnarray*} d_q(x,y) := q(d(x,y)) \end{eqnarray*}$ eine Metrik.

Beweis der Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} q(d(x,y))+q(d(y,z)) &=& d(x,y)\cdot\frac{q(d(x,y))}{d(x,y)}+ d(y,z)\cdot\frac{q(d(y,z))}{d(y,z)}\\ &\geq& (d(x,y)+d(y,z))\cdot\frac{q(d(x,y)+d(y,z))}{d(x,y)+d(y,z)} \geq q(d(x,z)) \end{eqnarray*}$

Beim ersten >= wird genutzt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{q(x)}{x} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, beim zweiten >= dagegen, dass $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ selbst monoton wachsend ist.

27.07.2005, 22:55

creasy

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Warum ist das denn kein Gegenbeispiel???
$\begin{eqnarray*} d(4,0) \leq d(4,2) + d(2,0) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4-0)^{2}\leq (4-2)^{2} + (2-0)^{2} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16 \leq 4 + 4 \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

Oder sehe ich das falsch

27.07.2005, 22:58

AD

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Es ist ein Gegenbeispiel - nur wie du es aufschreibst, gibt es zu Missverständnissen Anlass...

27.07.2005, 22:59

sqrt(2)

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Zitat:

Original von creasy
Warum ist das denn kein Gegenbeispiel???

Weil mein Rechnen ausgesetzt hat. Ich bin jetzt lieber ruhig.

27.07.2005, 23:00

creasy

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@Arthur Dent:
Meinst du die Gleichheitszeichen?
Wollte eigentlich Äquivalenzzeichen setzen, hab aber die Pfeile <> vergessen.

27.07.2005, 23:06

AD

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Ich hätte es etwa so aufgeschrieben:

Es ist d(4,0)=16 und d(4,2)=d(2,0)=4. Also folgt d(4,0) > d(4,2)+d(2,0), im Widerspruch zur Dreiecksungleichung.

Bei deiner Darstellung weiß man nicht sofort: Hat er das nun aus der Darstellung von d abgeleitet, oder formt er die Dreiecksungleichung um? verwirrt

verwirrt

Daher die Verwirrung: Wenn du eine indirekten Beweis führst, musst du das auch klar kennzeichnen!

28.07.2005, 17:29

b00n

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich hätte es etwa so aufgeschrieben:

Es ist d(4,0)=16 und d(4,2)=d(2,0)=4. Also folgt d(4,0) > d(4,2)+d(2,0), im Widerspruch zur Dreiecksungleichung.

Hallo. Aber wieso ist das denn ein Widerspruch?

Es ist doch:

$\begin{eqnarray*} d(4,0) = 16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(4,2) = d(2,0) = 4 \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} d(4,0) \overset{?}{\leq} d(4,2) + d(2,0) = 16 \leq 4 + 4 \Rightarrow 16 = 16 \end{eqnarray*}$

also ist doch dann nich

$\begin{eqnarray*} d(4,0) \leq d(4,2) + d(2,0) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

28.07.2005, 17:55

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} 16 \leq 4 + 4 \Rightarrow 16 = 16 \end{eqnarray*}$

Aus Falschem kann man alles folgern. Oder anders gesagt: was ist 4 + 4?

28.07.2005, 17:57

b00n

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LOL, wenn man nich $\begin{eqnarray*} 4 \cdot 4 \end{eqnarray*}$ rechnen würde Hammer

Hammer

Danke, zu langes Anstarren macht blind Hammer

Hammer

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