rombisches Gitter

28.07.2005, 10:50

phi

rombisches Gitter

Hallo,

Geometrie ist noch ein Schwachpunkt bei mir, denn zu der folgenden Frage gibt es bestimmt eine einfache Antwort, aber ich komm´nicht drauf.

Gegeben ist ein rombisches Gitter (siehe Bild) , bei dem geprüft werden soll ob die Entfernung D(0) zwischen Punkt $\begin{eqnarray*} z_p \end{eqnarray*}$ und 0, oder die Entfernung D( $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ) zwischen Punkt $\begin{eqnarray*} z_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ größer ist.

Dazu soll zuerst $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bestimmt werden, wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht die x-Koordinate von $\begin{eqnarray*} z_p \end{eqnarray*}$ ist, auch wenn es im angehängtem Bild so aussehen mag.
Der Ursprung 0 ist ein Punkt des Gitters. Die Rhomben sind natürlich kongruent.

Unter berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} x_{p-q}=x_p-x_q \end{eqnarray*}$ , Geometrie & simple Algebra, so heißt es im Text ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \varphi~=~\frac{|z_p|^2-|z_{p-q}|^2}{2x_q} \end{eqnarray*}$ . (*)

Nachvollziehen kann ich zumindest das die Betragsstriche die Entfernung zu 0 darstellen, und das im Zähler ein Teil des Kosinussatzes steckt. (Pythagoras kommt nicht in Frage, da kein rechter Winkel) Also:

$\begin{eqnarray*} |z_p|^2=|z_q|^2+| z_{p-q} |^2~-~2|z_q||z_{p-q}|cos(\lambda) \end{eqnarray*}$ ,

wobei mir nicht klar ist woher man den Winkel lambda hernehmen kann.

Der Ausdruck im Nenner könnte sich so ergeben haben:

$\begin{eqnarray*} 2x_q=x_p+x_q-x_{p-q} \end{eqnarray*}$ .

Hat jemand bitte einen kleinen Tip, wie die Formel (*) zustande kommt ?

Danke schonmal, mfg, phi.

28.07.2005, 11:05

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Sieht ganz nach einem Voronoi-Mosaik aus, richtig?

28.07.2005, 11:11

phi

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Richtig! Es geht im größeren Zusammenhang darum zu zeigen, welche Gitter eines ausgerollten Zylinders den Fibonacci-Spiralen entsprechen.

smile

28.07.2005, 11:14

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RE: rombisches Gitter
Formel

$\begin{eqnarray*} \varphi~=~\frac{|z_p|^2-|z_{p-q}|^2}{2x_q} \end{eqnarray*}$ . (*)

ist für mich nur nachvollziehbar, falls $\begin{eqnarray*} 0,z_q,z_p,z_{p-q} \end{eqnarray*}$ Ecken eines Parallelogramms sind. Nach der Zeichnung sieht es so aus, in deiner Beschreibung habe ich diese Bedingung für den Nullpunkt allerdings nicht gefunden.

28.07.2005, 11:16

phi

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RE: rombisches Gitter

Zitat:

Original von phi

Der Ursprung 0 ist ein Punkt des Gitters. Die Rhomben sind natürlich kongruent.

Ist wohl im langen Text untergegangen..

28.07.2005, 11:25

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Ok, dann kannst du das so begründen: Zunächst die Geradengleichung für die Mittelsenkrechte der Strecke $\begin{eqnarray*} z_{p-q},z_p \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (x_p-x_{p-q})(x-x_m)+(y_p-y_{p-q})(y-y_m)=0 \end{eqnarray*}$

Dabei sei $\begin{eqnarray*} z_m:=\frac{1}{2}(z_p+z_{p-q}) \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt der Strecke. Der Punkt $\begin{eqnarray*} (\varphi,0) \end{eqnarray*}$ muss nun auf dieser Mittelsenkrechten liegen, also folgt

$\begin{eqnarray*} (x_p-x_{p-q})(\varphi-x_m)+(y_p-y_{p-q})(-y_m)=0 \end{eqnarray*}$

und umgeformt

$\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{y_p-y_{p-q}}{x_p-x_{p-q}}\cdot \frac{y_p+y_{p-q}}{2} + \frac{x_p+x_{p-q}}{2} = \frac{y_p^2-y_{p-q}^2+x_p^2-x_{p-q}^2}{2(x_p-x_{p-q})} = \frac{|z_p|^2-|z_{p-q}|^2}{2(x_p-x_{p-q})} \end{eqnarray*}$

Und die Parallelogrammbedingung liefert ja $\begin{eqnarray*} z_q=z_p-z_{p-q} \end{eqnarray*}$ .

28.07.2005, 11:39

phi

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Wow, danke.

Die Geradengleichung ist also ein Skalarprodukt senkrechter Geraden, stimmts? ( Stichwort: Hess´sche Normalform..)

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