Dualraum+Basis

28.07.2005, 16:09	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum+Basis Hallöchen!!! Kann mir bitte jemand erklären was ein Dualraum und entsprechend dazu eine duale Basis ist? Über einen hilfreichen Internetlink wäre ich auch schon dankbar. Habe mir zwar das ein oder andere durchgelesen z.B. bei Wikipedia, aber irgendwie sehe ich nicht die Bedeutung die dahinter steckt. Vorallem habe ich in meiner Vorlesung noch nichts vom Hilbert-Raum gehört und das habe ich in diesem Zusammenhang immer wieder gelesen. Gast123
28.07.2005, 17:54	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hilbertraum ist zwar um ein paar Ecken (Bilinearformen) gedacht eine Art Weiterentwicklung des Dualraums, aber den Dualraum sollte man besser erstmal für sich verstehen lernen. Da geht es zunächstmal um Linearformen, also eine Abbildung von einem (endlichdimensionalen) Vektorraum V in seinen Körper K, so dass gilt: f(v+v')=f(v)+f(v') und f(kv)=kf(v). Beispiel: Sei V=IR^3. Die Abbildung f von IR^3 in IR, die einen Vektor (x,y,z) auf x+y+z abbildet ist eine Linearform. Der Kern dieser Abb. ist der Unterraum Kern(f)={(x,y,x-y)\| x,y aus IR}. Der Kern hat also die Dimension 2, ist also "ziemlich groß", genauer gesagt ist der Kern einer Linearform immer (n-1)-Dimensional, wenn V die Dimension n hat. Ist ja auch logisch, da das Bild einer Linearform immer 1-dimensional ist, und laut Dim-Formel hat der Kern die restlichen (n-1) Dimensionen. Die Menge aller Linearformen von V wird V* gennant und als der Dualraum von V definiert.
28.07.2005, 20:59	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für deine Antwort. Aber das hab ich glaub ich auch schon irgendwo gelesen und das sagt mir so viel, dass ich es nur auswendig lernen könnte und dann hoffe, dass das für die Prüfung reicht. Ich kapier einfach nicht was der genaue Unterschied zwischen Vektorraum/Dualraum und Basis/Dualbasis ist. Vielleicht trivial, aber für mich ziemlich wichtig...
28.07.2005, 21:21	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hauptunterschied ist, das ein Vektorraum etwas viel allgemeineres ist. In einem allg. Vektorraum ( welcher durch 8 Axiome definiert ist) gibt es Abbildungen von IR^n nach IR^n, von IR^n nach IR^2, nach IR^3, oder sonst irgendwelche Unterräume. Eben auch von IR^n in den Körper IR, oder allgemeiner von IK^n nach IK. Und grade diese Abbildungen letzterer Art, sind Linearformen ; die z.B. einen 3-dimensionalen Vektor auf eine einzige Zahl abbilden. (oder allg. auf ein einziges Körperelement...) Wie weit kannst du dir eigentlich Abbildungen vorstellen?
30.07.2005, 13:57	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein kann man von dem Vektorraum IR^n lineare Abbildungen in viele verschiedene Vektorräume betrachten. Die linearen Abbildungen nach IR sind dabei besonders interessant, zB aufgrund folgender Eigenschaften: - die linearen Abbildungen bilden selbst einen Vektorraum (das gilt auch für lineare Abbildungen mit beliebigem Bildraum) - (IR^n)* hat die gleiche Dimension wie IR^n - ((IR^n)) = IR^n (wegen dieser Eigenschaft nennt man das Dualraum) - wenn man eine Basis von IR^n dualisiert, erhält man eine Basis von (IR^n)* und umgekehrt (die duale Basis) wenn du dir jetzt überlegst, warum all diese Dinge gelten, hast du, denke ich, ein recht gutes Verständnis, was ein Dualraum ist
02.08.2005, 13:45	Lena1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie dualisiert man denn eine Basis? Was ein Dualraum ist mir schon klar. Aber das mit der Dualbasis noch nicht wirklich....
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02.08.2005, 16:22	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
warum postest du unter verschiedenen namen? Duale Basis, Basis dualiesieren

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