Von Hyperbel begrenzte Fläche

28.07.2005, 20:43

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Von Hyperbel begrenzte Fläche

moin,

Eine von einer Hyperbel begrenzte Fläche soll von folgender Ungleichung gegeben sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x- \frac{5}{13} \end{pmatrix} ~ < ~ \frac{7}{13}y^2 \end{eqnarray*}$

Ok, die Klammer ausmultiplizieren, um auf die Form

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

zu kommen:

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{28}{39}x+ \frac{5}{39}< \frac{21}{39}y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~ x^2-\frac{21}{39}y^2 -\frac{28}{39}x ~ < ~ -\frac{5}{39} \end{eqnarray*}$

Jetzt durch -5/39 teilen um auf der rechten Seite auf 1 zu kommen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~ -\frac{39}{5}x^2+\frac{21}{5}y^2 +\frac{28}{5}x ~ < ~ 1 \end{eqnarray*}$ .

Soweit, sogut, aber mich verwirren jetzt zwei Dinge:

1) Was macht man mit dem Glied mit x ?

2) Wie plottet man eine Ungleichung ?

Bin dankbar für alle Tips.

mfg, phi.

28.07.2005, 20:55

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kein gemischtes Glied $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ vorliegt, sollte es möglich sein, die Hyperbel in die Form

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2} =\pm 1 \end{eqnarray*}$

zu bringen.

28.07.2005, 21:38

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuch das mal.

Aber wie interpretiert man die Ungleichung?

28.07.2005, 21:55

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (x_0|y_0) \end{eqnarray*}$ ist der Mittelpunkt.

Je nachdem, ob jetzt rechts 1 oder -1 steht, ist $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ der minimale Abstand (durch den Mittelpunkt) und $\begin{eqnarray*} \pm\frac{b}{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \pm\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ die Steigung der Asymptoten.

28.07.2005, 22:13

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

x´= x - 14/39
sollte gehen
(die grafik soll nur als beispiel dienen)
werner

28.07.2005, 22:40

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, z_o=(14/39, 0) hab ich auch.

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} x-\frac{14}{39} \end{pmatrix}^2}{\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{191}{39}} \end{pmatrix}^2 } ~-~\frac{\begin{pmatrix} y-0 \end{pmatrix}^2}{\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{191}{21}} \end{pmatrix}^2 } ~ < ~ -1 \end{eqnarray*}$

@ sqrt2: Also wäre 2b der minimale Abstand zwischen Mittelpunkt z_o und den Hyperbel-Scheitelpunkten?

@ Wernerin: Und grob gesprochen wäre hier x+1< y, also wird mit der Ungleichung die Fläche ober und unterhalb der Hyperbeläste beschrieben, richtig?

Vielen Dank, mfg, phi.

Anzeige

28.07.2005, 22:58

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von phi
Also wäre 2b der minimale Abstand zwischen Mittelpunkt z_o und den Hyperbel-Scheitelpunkten?

Nein, mir fehlte nur das Wort "Scheitelpunkt", um das unmissverständlich auszudrücken. 2b ist der Abstand der Scheitelpunkte. b ist der minimale Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Ast der Hyperbel.

28.07.2005, 23:08

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, logisch, ist mir auch grade gedämmert. a wird ja auch so definiert. Und mit der Graphik wird mir klar warum bei -1 der Wert b statt a den Abstand definiert.

Danke.

29.07.2005, 01:22

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von phi
Ja, z_o=(14/39, 0) hab ich auch.

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} x-\frac{14}{39} \end{pmatrix}^2}{\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{191}{39}} \end{pmatrix}^2 } ~-~\frac{\begin{pmatrix} y-0 \end{pmatrix}^2}{\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{191}{21}} \end{pmatrix}^2 } ~ < ~ -1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet hab, dann ist deine Hyperbelungl.
falsch geworden

29.07.2005, 02:05

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auch was anderes raus.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-\frac{14}{39})^2}{(\frac{1}{39})^2}-\frac{y^2}{(\frac{1}{3\sqrt{91}})^2}<1 \end{eqnarray*}$

Meinem Funktionenplotter zufolge ist das auch richtig. Die gesuchte Fläche wäre dann wohl die zwischen den Ästen.

29.07.2005, 11:26

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, heute morgen habe ich ein Vorzeichenfehler ganz am Anfang meiner Rechnung gefunden. Das gab dann einige Folgefehler.

Danke für die Fehlersuche.

Noch ´ne Frage: Wie plottet man hier zwei Funktionen in einem Plot?

29.07.2005, 11:45

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe dasselbe ergebnis wie sqrt(2)
werner

29.07.2005, 12:07

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich jetzt auch smile

smile

Ich hatte einen Vorzeichenfehler, deswegen -1; und bei der binomischen Ergänzung hatte ich mit 196/39 statt 196/1521 gerechnet und einen entsprechend anderen Betrag wieder abgezogen.

Wie bekommt man das Ganze mit dem hiesigen Plotter in einem Bild?

29.07.2005, 12:15

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Noch ´ne Frage: Wie plottet man hier zwei Funktionen in einem Plot?

du trennst die einzelnen funktionen durch ein komma!

29.07.2005, 12:38

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, danke!

Mit meinem Plot oben stimmt immer noch was nicht. Der Mittelpunkt müsste ja etwa bei x=0,36 liegen... verwirrt

verwirrt

29.07.2005, 16:51

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

werner

31.07.2005, 20:38

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Seltsam, die Ausdrücke sind mathematische äquivalent...laut Distributivgesetz.

31.07.2005, 21:12

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von phi
Seltsam, die Ausdrücke sind mathematische äquivalent...laut Distributivgesetz.

einfach bei Brüchen die Zahlen durch Dezimalpunkte ergänzen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »