ln(x) surjektiv?

05.02.2008, 17:13

Tobias1234

ln(x) surjektiv?

Hallo zusammen!

Ich beschäftige mich gerade mit surjektiven, injektiven und bijektiven Abbildungen.

Nun habe ich in meinen Aufzeichnungen zu f(x) = ln(x) das hier stehen:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{+} -> \mathbb R --> bijektiv \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> \mathbb R --> injektiv \end{eqnarray*}$

Wieso ist ln(x) bei D=R nur injektiv? Jedem y-Wert ist doch (mindestens) ein x-Wert zugeordnet (=> surjektiv)!

Oder heißt Surjektivität auch, dass jeder x-Wert mindestens einen y-Wert hat?

Danke schon mal im voraus!

Tobias

05.02.2008, 17:17

20_Cent

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Das zweite ist auf jeden Fall falsch, da der ln nur positive Argumente zulässt.
mfG 20

05.02.2008, 17:27

Tobias1234

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Ok, danke dir!

Ich kann die Injektivität nicht bestimmen, ohne vorher den Definitionsbereich (+Wertebereich) festgelegt zu haben.

Ich hatte da irgendwie einen Denkfehler drin.. Augenzwinkern

Grüße,
Tobias

05.02.2008, 18:27

gast1

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In jedem Buch und jeder Vorlesung, die mir bisher untergekommen sind (und das sind inzwischen einige), bedeutet die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ , dass f eine auf X definierte Funktion mit Werten in Y ist.

05.02.2008, 18:28

gast1

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Hm, gerade war hier noch ein Beitrag, auf den ich Bezug genommen habe.

05.02.2008, 18:35

Dual Space

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Zitat:

Original von gast1
Hm, gerade war hier noch ein Beitrag, auf den ich Bezug genommen habe.

Sorry ... der war von mir ... da ist was schief gegangen.

Ich schrieb, dass mMn $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ nicht zwingend $\begin{eqnarray*} D(f)=X \end{eqnarray*}$ impliziert, sondern nur $\begin{eqnarray*} D(f)\subset X \end{eqnarray*}$ . Aber offenbar ist das nicht usus.

Zitat:

Original von gast1
In jedem Buch und jeder Vorlesung, die mir bisher untergekommen sind (und das sind inzwischen einige), bedeutet die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ , dass f eine auf X definierte Funktion mit Werten in Y ist.

Das ist mit meiner Auffassung konsistent. Augenzwinkern

05.02.2008, 18:42

gast1

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Nicht, wenn man "auf X definiert" so versteht, wie es üblich ist.
Um weitere Missverständnisse zu vermeiden:
in jeder mir bekannten Quelle bedeutet die angegebene Schreibweise, dass f eine Teilmenge von XxY mit der folgenden Eigenschaft ist: für jedes x aus X existiert genau ein y aus Y mit (x,y) aus f.

05.02.2008, 19:09

Dual Space

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Üblicherweise bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ den Halbstrahl $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Demnach wäre auch die erste Behauptung, nämlich

Zitat:

Original von Tobias1234
Nun habe ich in meinen Aufzeichnungen zu f(x) = ln(x) das hier stehen:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{+} -> \mathbb R --> bijektiv \end{eqnarray*}$

falsch, weil der Logarithmus in Null nicht definiert ist.

Edit: Jetzt wirst du gleich einwenden, dass laut deinem Verständis die Null nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ gehört. Augenzwinkern

Mir ist das auch egal. Ich wollte ja nur bemerken, dass man sich das Leben so nicht unbedingt einfacher macht. smile

Edit2: Überraschender Weise muss ich feststellen, dass Wikipedia auch deiner Ansicht folgt ... offenbar ist das Mode. Dann frag ich mich aber, warum man nicht auch Y mit R(f) identifiziert. So ist das ganz schön halbherzig.

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