Lineare DGL 2. Ordnung (konstante Koeffizienten)

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Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare DGL 2. Ordnung (konstante Koeffizienten)
Hi allerseits,

ich muss jemand Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten erklären. Leider ist es schon eine ganze Weile her, dass ich das letzte mal damit zu tun hatte und ich brauche deshalb ein bißchen Hilfe.

Die allgemeine Lösung der homogenen DGL zu finden, ist kein Problem. Aber wie ist das mit der partikulären Lösung? Ich habe auf dieser Seite -> (nach unten scrollen) nachgelesen und verstehe den Ansatz mit dem Gleichungssystem nicht ganz. Und wie ist der Ansatz, wenn die charakteristische Gleichung eine doppelte Nullstelle hat bzw. Resonanz vorliegt?

Speziell die Lösung der Aufgabe verstehe ich nicht verwirrt

Allgemeine Lösung der homogenen DGL ist

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das "wie komme ich auf so einen Ansatz" verstehen zu wollen, ist mir bislang auch nicht immer gelungen. Aber warum dieser Ansatz hier sinnvoll ist, sieht man folgendermaßen: Angenommen, der Ansatz



genügt dem dort angegebenen Gleichungssystem. Dann kann man die Ableitungen von nach Produktregel sehr leicht bestimmen:



weil die erste Summe gemäß erster Gleichung des Gleichungssystems Null ist. Und mit ähnlicher Begründung geht das so weiter mit den Ableitungen, bis zur (n-1)-ten Ordnung:


...


Im n-ten Schritt dann verschwindet die erste Summe nicht, sondern dort steht dann das in der letzten Zeile des Gleichungssystems rechts stehende g(x):



Und jetzt setzt du den ganzen Mist ... ähmm, ich meine die Ableitungen in deine Dgl. ein und stellst fest, dass tatsächlich Lösung der partikulären Gleichung ist.

Allerdings hat sich in den Ansatz ein Fehler eingeschlichen: Er gilt nur, wenn ist, aber das kann man ja durch Division erzwingen.

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Bei speziellen rechten Seiten wie ist obiger Ansatz der "Variation der Konstanten" allerdings reinster Overkill. Hier genügt ein Ansatz



wobei die Vielfachheit ist, mit der als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung der homogenen Dgl auftaucht. Ist keine dieser Nullstellen, so ist einfach .


EDIT: Bemerkung "(mit Polynom P(x)" gestrichen, weil irrelevant für dieses g(x).
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Bei speziellen rechten Seiten wie (mit Polynom P(x) ) ist obiger Ansatz der "Variation der Konstanten" allerdings reinster Overkill. Hier genügt ein Ansatz



wobei die Vielfachheit ist, mit der als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung der homogenen Dgl auftaucht. Ist keine dieser Nullstellen, so ist einfach .


Danke für die ausführliche Erklärung. Der erste Teil war verständlich. Aber das hier leider nicht verwirrt Was ist das Polynom P(x)? Und verstehe ich es richtig, dass "Variation der Konstanten" hier sehr aufwändig, aber nicht falsch ist?

Wenn ja, wo liegt der Fehler bei obiger Beispielaufgabe:



Allgemeine Lösung der homogenen DGL:

Gleichungssystem für partikuläre Lösung



Jetzt erste Gleichung *(-2) und auf die zweite addieren, sowie beide Gleichungen durch e^(2x) teilen. gibt




Laut der anderen Seite müßte aber rauskommen.

Ich vermute, es liegt daran, dass in meiner Lösung die Integrationskonstenten null sein müssen. Wenn ja, warum ist das so? Ist das immer so?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calvin
Was ist das Polynom P(x)?

Streich das Polynom - ich hatte dort erst stehen, aber das hätte die Erklärung nur komplizierter gemacht. Und nach der Änderung habe ich vergessen, den Klammerausdruck rauszuschmeißen. Hammer


Zitat:
Original von Calvin
Laut der anderen Seite müßte aber rauskommen.

Wer sagt denn, dass es die eine und nur eine partikuläre Lösung gibt!



ist für beliebige eine partikuläre Lösung!!! Schließlich sind sowohl als auch Lösungen der homogenen Gleichung.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Schließlich sind sowohl als auch Lösungen der homogenen Gleichung.


Aha, das habe ich überhaupt nicht gesehen. Das erklärt natürlich einiges.

Vielen Dank für die Erklärungen. Ich werde heute abend noch ein paar Beispiele anschauen, so dass es bis morgen hoffentlich einigermaßen sitzt Augenzwinkern Ich melde mich, wenn ich noch Fragen habe.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

@ arthur& calvin

tschuldigung, daß ich die aufgabe gerechnet habe, aber ich fand sie interessant( weil genau die gleiche aufgabe bei mir damals in der prüfung vor kam) Big Laugh und ich mich damals diese einfachen punkte verschenkt habe, traurig deshalb ist sie mir noch recht gut im gedächtnis hängen geblieben


Charakterischtische gleichung:













in die ausgansgleichung eingesetzt:






zusammen gefaßt ergibt:



koeffizentenvergleich ergibt:







 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

OK, nach ein paar Aufgaben ohne Probleme, habe ich jetzt eine Aufgabe erwischt, bei der das charakteristische Polynom komplexe Nullstellen hat.





Wie kriege ich hier die partikuläre Lösung? Der Weg über das Gleichungssystem scheint mir hier zu aufwändig geschockt

EDIT

Für das Gleichungssystem hätte ich gesetzt. Dadurch, dass man die Ableitung braucht, wird das Gleichungssystem ziemlich kompliziert verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's mit dem Ansatz , also einer Konstante?

Hochtrabend formuliert ist das Spezialfall von oben. Augenzwinkern
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

*lol* Hammer Daran hatte ich kurz gedacht, aber das schien mir nicht sinnvoll Hammer

Sehe ich es richtig, dass dieser Ansatz sinnvoller ist, wenn auf der rechten Seite der DGL ein Polynom (evtl mit dem Faktor ) vorkommt?

EDIT
Mit einem komplexeren Polynom sieht der Ansatz aber sicher anders aus. Also beschränke ich meine obige Aussage auf ein Polynom der Form

EDIT2

Und weil es so schön ist noch eine allerletzte Aufgabe für heute.



.

Wie komme ich hier auf eine partikuläre Lösung?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wieder dasselbe Schema , nur diesmal zwei Summanden dieser Struktur:

1) , also . Dieses ist keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung, also ist und der Ansatz führt zum Erfolg.

2) , also . Diese sind nun jeweils einfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung, also ist und der Ansatz erbringt das Gewünschte.

Summa summarum also:

Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärungen. Die letzte werde ich mir morgen nochmal in Ruhe ansehen. Gute Nacht Wink Schläfer
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