Matrix symmetrisch positiv definit

29.07.2005, 19:01

Trazom

Matrix symmetrisch positiv definit

Hallo,

wie weise ich mit wenig (!) Aufwand nach, dass eine Matrix s.p.d. ist? Ich weiß, dass es der Fall ist, wenn alle Eigenwerte oder Pivotelemente positiv sind, geht es noch irgendwie anders? Ich brauche es für eine Choleskyzerlegung.

Gruß Trazom

29.07.2005, 19:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es dir nur um die Vermeidung der Nullstellenbestimmung der charakteristischen Gleichung im letzten Schritt geht:

Wir wissen, dass die zu einer symmetrischen Matrix gehörende charakteristische Eigenwertgleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+ \cdots +a_1\lambda+a_0 = 0 \end{eqnarray*}$

nur reelle Lösungen hat. Und diese sind genau dann sämtlich positiv, wenn die Koeffizienten alternierende Vorzeichen besitzen, d.h.

$\begin{eqnarray*} a_{n-1}<0,\;a_{n-2}>0,\;a_{n-3}<0,\ldots \end{eqnarray*}$

Kann natürlich sein, dass dir die Aufstellung der charakteristischen Gleichung bereits zuviel Aufwand verschlingt. verwirrt

29.07.2005, 19:35

Trazom

Auf diesen Beitrag antworten »

ja leider

aber wenn es da nichts schnelleres gibt, is auch ok.

In der Übung wurde nur geguckt, ob alle Einträge der Diagonalmatrix positiv sind, aber da hat man meiner Ansicht ja schon ne Choleskyzerlegung gemacht, und findet erst dann raus, dass die Matrix s.p.d. ist.

29.07.2005, 23:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne mich in dem Thema nicht aus. Ich hab keine Ahnung von dieser charakteristischen Gleichung und so, aber dass da immer nur reelle Lösungen entstehen, finde ich ja ganz interessant. Ich hab aber eigentlich ne Frage zur folgenden Aussage:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und diese sind genau dann sämtlich positiv, wenn die Koeffizienten alternierende Vorzeichen besitzen

Find ich sehr interessant. Ist der Beweis sehr lang? Den würde ich sehr gerne mal sehen! Augenzwinkern

Gruß MSS

30.07.2005, 00:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und diese sind genau dann sämtlich positiv, wenn die Koeffizienten alternierende Vorzeichen besitzen

Find ich sehr interessant. Ist der Beweis sehr lang? Den würde ich sehr gerne mal sehen! Augenzwinkern

Der ist extrem kurz: Wegen der alternierenden Koeffizienten besitzen für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ alle Terme von

$\begin{eqnarray*} P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

dasselbe Vorzeichen, also gilt $\begin{eqnarray*} |P(x)|=|x^n|+|a_{n-1}x^{n-1}|+\ldots+|a_1x|+|a_0|\geq |a_0|>0 \end{eqnarray*}$ , damit kann die Polynomfunktion P keine nichtpositiven Nullstellen haben.

Seien umgekehrt alle Nullstellen positiv, dann ergibt sich die Alterniertheit der Koeffizienten einfach aus der Produktdarstellung

$\begin{eqnarray*} P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_n) \end{eqnarray*}$ ,

also gewissermaßen Satz von Vieta.

30.07.2005, 00:58

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Der ist extrem kurz: Wegen der alternierenden Koeffizienten besitzen für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ alle Terme von

$\begin{eqnarray*} P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

dasselbe Vorzeichen.....

Könntest du das mal deutlicher zeigen, bitte!

Also mir ist die Aussage deines Satzes schon klar, jedoch verstehe ich nicht, warum alle Terme (meinst du mit Terme $\begin{eqnarray*} x^n; a_{n-1}x^{n-1}; ... \end{eqnarray*}$ ) das selbe Vorzeichen behalten.

Ich sehe da nicht ganz den Zusammenhang mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

30.07.2005, 01:06

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} P(x) = (-1)^n \left[ (-x)^n-a_{n-1}(-x)^{n-1}+a_{n-2}(-x)^{n-2}-+\ldots \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt klar, was für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ passiert?

30.07.2005, 01:14

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap!
Zumindest zum größten Teil smile

Danke Arthur!

Gruß, Jan

30.07.2005, 14:34

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hätte ich mal selbst drüber nachdenken sollen, wenn's so einfach ist. Hammer

Zumindest die Rückrichtung hätte ich ja wohl selbst sehen müssen, da ich mich letztens erst relativ ausgiebig mit Polynomen und dem Satz von Vieta beschäftigt habe. böse

Trotzdem vielen Dank Arthur! Freude

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Matrix symmetrisch positiv definit

Verwandte Themen