Zufallsvariablen

05.02.2008, 20:44

Kristin

Zufallsvariablen

Guten Abend,

ich wollte ehm Fragen, ob meine Lösung zu dieser Aufgabe stimmen kann?

Gebe auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, p) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(\left\{i\right\})=\frac13 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1,2,3 \end{eqnarray*}$

zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Cov(X, Y) = 0 \end{eqnarray*}$ an, die aber nicht unabhängig sind.

Ich hab da folgende Zufallsvariablen genommen:

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \omega \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X(\omega) =0 \end{eqnarray*}$ sonst.

$\begin{eqnarray*} Y(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(\omega) = \omega \end{eqnarray*}$ sonst.

Würden diese gehen?

05.02.2008, 20:48

Dual Space

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RE: Zufallsvariablen
Woher soll denn $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ sein, wenn es nicht zu $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gehört?

05.02.2008, 21:20

Kristin

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Also reicht es dann wenn ich

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \omega \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Y(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$

nehme? Wobei natürlich dann $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ .

05.02.2008, 21:54

Dual Space

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Warum sollten die so gewählten Zufallsvariablen X und Y denn nicht unahängig sein? Bedenke, dass dein Y deterministisch ist.

05.02.2008, 21:58

Kristin

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Ist denn auch $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) = 0 \end{eqnarray*}$ ? Denn dies bekomm ich dann raus.

06.02.2008, 01:58

WebFritzi

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Wohin sollen denn X und Y abbilden?

06.02.2008, 07:06

Dual Space

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Zitat:

Original von Kristin
Ist denn auch $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) = 0 \end{eqnarray*}$ ? Denn dies bekomm ich dann raus.

Um es klar zu sagen: Deine Vorschläge für X und Y sind unabhängig, was sie laut Aufgabenstellung aber grade nicht sein sollen. So nun beantworte erst mal Webfritzis Frage und dann postest du mal die Definitionen für die Kovarianz und die Unabhängigkeit zweier ZVn. Langsam hab ich nämlich das Gefühl, dass du gar nicht so richtig weißt, was eigentlich gesucht ist.

06.02.2008, 17:14

Kristin

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Hast recht...

$\begin{eqnarray*} X,Y:\Omega \to \Omega \end{eqnarray*}$ ?

Unabhängig wenn der Ereignisraum stochastisch unabhängig ist, d.h. doch

$\begin{eqnarray*} P(X=x) \cdot P(Y=y) = P(X=x, Y=y) \end{eqnarray*}$

und für die Kovarianz hab ich gefunden:

$\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 \end{eqnarray*}$

<--> $\begin{eqnarray*} E(XY) = E(X) E(Y) \end{eqnarray*}$ .

Aber wie komm ich nun auf die ZVen?

06.02.2008, 18:56

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} E(XY) = E(X) E(Y) \Longleftrightarrow \int X(\omega)Y(\omega)\,dP(\omega) = \int_{\omega_1}\int_{\omega_2} X(\omega_1)Y(\omega_2)\,dP(\omega_2)\,dP(\omega_1) \end{eqnarray*}$

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