gleichverteilung auf kreisrand

05.02.2008, 23:12

fräuleinFubini

gleichverteilung auf kreisrand

hallo zusammen,
man hat die menge $\begin{eqnarray*} M_a = \left\{ x \in \mathbb{R}^d : |x| = |a| \right\} \end{eqnarray*}$ dabei ist a aus R^d fest. (also im 2-dim einfach ein kreisrand). Sei U_a die gleichverteilung auf M_a. es ist ja dann (denk ich mir mal) $\begin{eqnarray*} U_a( B) = \frac{\lambda^d(M_a \cap B )}{\lambda^d(M_a)} \end{eqnarray*}$ nach der üblichen def. der gleichverteilung. jetzt frag ich mich aber: so ein kreisrand, was hat der für ein maß? ist das denn nicht null, im 2-dim haben doch zB strecken oder geraden maß 0, weil die ja sozusagen niederdimensioniert sind, (so stell ichs mir immer vor)? oder nimmt man da den umfang 2pi*a?
danke für jede hilfe

06.02.2008, 07:14

Dual Space

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RE: gleichverteilung auf kreisrand

Zitat:

Original von fräuleinFubini
Sei U_a die gleichverteilung auf M_a. es ist ja dann (denk ich mir mal) $\begin{eqnarray*} U_a( B) = \frac{\lambda^d(M_a \cap B )}{\lambda^d(M_a)} \end{eqnarray*}$ nach der üblichen def. der gleichverteilung.

Der Rand eines d-dimensionalen Gebietes ist von der Dimension (d-1). Daher solltest du auch das (d-1)-dimensionale Lebesgue-Maß verwenden.

06.02.2008, 11:40

fräuleinFubini

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RE: gleichverteilung auf kreisrand
danke dualraum, weißt du (oder sonst jemand ;-)) ob es da eine allgemeine Formel im d bzw d-1 - dim raum gibt für das maß des Kreisrandes (für d=2, 3 weiß ichs ja noch aus der schule) , also für den fall dass ich für ein konkretes B - zb einen halbraum {x: <s,x> <= t} - die wahrscheinlichkeit ausrechnen möchte?
danke für jede idee/ tipp

06.02.2008, 13:46

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \lambda^{d-1}(M_a) = db_d ~ |a|^{d-1} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} b_d \end{eqnarray*}$ das d-dimensionale Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel sein soll. Für das gilt $\begin{eqnarray*} b_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left( \frac{d}{2}+1 \right)} \end{eqnarray*}$ , wobei hier $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ die Gammafunktion ist.

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Gamma(1)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \Gamma(m+1)=m\Gamma(m) \end{eqnarray*}$ folgt demnach

$\begin{eqnarray*} b_0 = 1, \; b_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_d = \frac{2\pi}{d}\cdot b_{d-2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Die nächsten paar Glieder:

$\begin{eqnarray*} b_2 = \pi, \; b_3 = \frac{4}{3}\pi, \; b_4 = \frac{1}{2}\pi^2, \; b_5 = \frac{8}{15}\pi^2,\; b_6 = \frac{1}{6}\pi^3, \; \ldots \end{eqnarray*}$ .

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