Schreibweise - Konvergenz gegen unendlich

30.07.2005, 19:40

Lazarus

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ich hab immer $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ synonym für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ benutzt und so hat es auch jeder meiner lehrer bisher akzeptiert. daran gerieben hat sich noch niemand *wunder*

meist ist ja auch insgesamt das verhalten für betragsmässig grosse x von interesse und nicht nur die eine seite der medallie ... oder ?

servus

30.07.2005, 20:04

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Zitat:

Original von Lazarus
ich hab immer $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ synonym für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ benutzt

Eine sehr ungewöhnliche und zudem einschränkende Interpretation. Nach dieser Sichtweise ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to \infty}\arctan(x) \end{eqnarray*}$

überhaupt nicht definiert!!! Im Gegensatz zur "normalen", üblichen Betrachtung, wo

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to \infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2},\qquad \lim\limits_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

gilt.

30.07.2005, 20:09

Mathespezialschüler

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@Arthur
Als Einschränkung würde ich es nicht bezeichnen, da ich auch schon oft genug $\begin{eqnarray*} x\to+\infty \end{eqnarray*}$ mit einem "echten" plus gesehen habe. Man müsste dann zwar immer $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ schreiben, aber dann hat man keine Einschränkung. Nur ist es nachteilhaft, dass man mit dieser Schreibweise wohl sehr oft alleine da stehen und es wohl auch öfters mal Missverständnisse geben könnte und würde.

Gruß MSS

30.07.2005, 20:30

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Naja, für einen solchen Konvergenzbegriff im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\cup\{\infty\} \end{eqnarray*}$ müsste man eine ganz andere Metrik als die übliche euklidische Metrik zugrunde legen, z.B.

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{|x-y|}{(1+|x|)(1+|y|)} & \mbox{für}\;x,y\in\mathbb{R}\\ \displaystyle\frac{1}{1+|x|} & \mbox{für}\;x\in\mathbb{R},\;y=\infty\\ \displaystyle\frac{1}{1+|y|} & \mbox{für}\;x=\infty,\;y\in\mathbb{R}\\ 0 & \mbox{für}\;x=y=\infty\end{cases} \end{eqnarray*}$

Aber das wird jetzt off-topic, deswegen stoppe ich hier. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2005, 21:00

Mathespezialschüler

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Abgetrennt

Das ist doch jetzt nur eine Konventionssache und letztendlich geht es doch nur um die Schreibweise. Dann schreibe ich halt $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{+\infty\} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ und dann haben wir genau den gleichen Sachverhalt. Es geht doch hier nicht um andere Dinge und Mengen, sondern nur um die Schreibweise. Im Endeffekt ist es doch alles das gleiche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

31.07.2005, 00:00

Leopold

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Könnte es sein, daß da zwei von ganz unterschiedlichen Dingen reden?

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31.07.2005, 00:42

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So wird's wohl sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2005, 00:59

Mathespezialschüler

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Kann sehr gut sein, aber ich habe trotz dieser Vermutung keine Ahnung, wovon Arthur denn reden könnte. verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

31.07.2005, 01:11

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@MSS

Ich dachte eigentlich, dass das Arcustangens-Beispiel deutlich genug den Unterschied beider Betrachtungsweisen zeigt. Nach dieser Auffassung

Zitat:

Original von Lazarus
ich hab immer $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ synonym für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ benutzt

existiert der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ in diesem Beispiel schlichtweg nicht.

Es sieht so aus, als wären für Lazarus $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\to+\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to-\infty \end{eqnarray*}$ drei verschiedene Grenzübergänge, während es für mich nur zwei verschiedene sind - die ersten beiden sehe ich als gleich an. Oder um es deutlicher zu machen:

Lazarus Definition von $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} ~ f(x) = y^* \end{eqnarray*}$ gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to-\infty}~f(x) = y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to+\infty}~f(x) = y_2 \end{eqnarray*}$ existieren und gleich sind, wobei dann $\begin{eqnarray*} y_1 = y_2 =: y^* \end{eqnarray*}$ gesetzt wird.

EDIT: Oje, Hälfte der Symbole vergessen - aber nachgeliefert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2005, 01:14

Mathespezialschüler

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Ok, das sehe ich ebenfalls so wie du. Nur verstehe ich nicht ganz, was das jetzt mathematisch verändert. Es ist doch nur eine Konventionssache. Das, was für uns $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ ist, ist für Lazarus einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{+\infty\} \end{eqnarray*}$ . Nur sehe ich da keine Probleme bzgl. der Metrik. Das hat ja nur mit dem mglw. entstehenden Missverständnis zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

31.07.2005, 01:18

AD

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Der Konvergenzbegriff ist immer an Topologien in topologischen Räumen gebunden. Und da ist die Konvergenz $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ im Sinne von Lazarus schlichtweg nicht mit der üblichen euklidischen Topologie in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vereinbar - nur über so ein "Hilfskonstrukt", wie ich es in meinem letzten Beitrag beschrieben habe. Das wäre dann aber strenggenommen eine "Extrawurst" beim Limes-Begriff, und das ist im Sinne einer einheitlichen Darstellung natürlich abzulehnen.

31.07.2005, 01:29

Mathespezialschüler

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Hab leider keine Ahnung von Topologie, aber ich denke, ich weiß trotzdem, was du meinst. Ich dachte, du meintest mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R\cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R\cup \{+\infty\} \end{eqnarray*}$ , also die für unser Verständnis des Zeichen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , aber jetzt sehe ich, dass du $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{+\infty\}\cup \{-\infty\} \end{eqnarray*}$ mit dem Konvergenzbegriff von Lazarus gemeint.
Allerdings ist das ja jetzt nur ein zusätzlicher metrischer Raum, der einfach durch die Definition "entsteht". In Lazarus' Theorie ist der metrische Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{+\infty\}\cup \{-\infty\} \end{eqnarray*}$ ja identisch mit dem "normalen" metrischen Raum mit der euklidischen Metrik. Er hat ja halt nur noch einen zusätzlichen metrischen Raum, den "wir" 'gar nicht kennen'.
Sorry, dass ich mich etwas ungeschickt ausdrücke, aber ich weiß leider noch nicht so viel von metrischen Räumen und schon gar nichts von Topologie. Gott

Gott

Gruß MSS

31.07.2005, 01:31

AD

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
aber ich weiß leider noch nicht so viel von metrischen Räumen und schon gar nichts von Topologie.

Wenn es dich tröstet: Ich hab mit 17 überhaupt nichts davon gewusst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2005, 01:40

Mathespezialschüler

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Das tut es ungemein. Big Laugh

Big Laugh

Nein, im Ernst: Ganz so war das ja nicht gemeint. Nicht, dass du denkst, ich erwarte von mir, bis zum Ende des Abis auch im 6. Semester mitstudieren zu können. Das ganze bezog sich ja jetzt auch nur auf meine Ausdrucksweise. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

31.07.2005, 01:49

AD

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Tja, so ein Genie wie der Peter Scholze war ich (trotz IMO-Teilnahme) eben nicht - ich hab nur gerade so zwei Semester eingespart. Dafür hatte ich ja aber auch 18 Monate wegen der Scheißarmee verloren. böse

böse

31.07.2005, 02:03

zoiX

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MSS: Vllt. hilft dir das mit zum Trost, aber....ich hab mit 19 und nach dem Abi auch leichte Schwierigkeiten mit zu kommen, obwohl ich in meinem LK noch herausragend war...
Ich komm mir hier wirklich sehr sehr schlecht vor Big Laugh

Big Laugh

31.07.2005, 11:59

AD

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@MSS

Ich wollte auf deine letzte PN antworten, aber:

31.07.2005, 12:50

Mathespezialschüler

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*lol*

Werde ich gleich mal etwas leeren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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