Beweis für Binomischen lehrsatz

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31.07.2005, 17:00	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Binomischen lehrsatz hoi leute. ich wollte mich mal mit dem beweis durch vollständige induktion auseinandersetzten! habe schon bisschen mich eingelesen und wills einfach mal ausprobieren, ein freund hat mir gesagt das man zum beispiel den binomischen lehrsatz durch induktion beweisen kann $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n~{n\choose k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \end{eqnarray}$ leider ist der freund mittlerweile im urlaub und ich kann ihn ned fragen daher bitte ich euch um hilfe! also hab ich mal angesetzt als induktionsanfang mit $\begin{eqnarray} n_0=1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (a+b)^1 = \sum_{k=0}^1~ {1\choose k} \cdot a^{1-k} \cdot b^k={1\choose 0} \cdot a^1+ {1\choose 1} \cdot a^{1-1} \cdot b^1 = a+b \end{eqnarray}$ des ist offentsichtlich richtig! [nebenbemerkung: latex ist zwar schön anzuschauen aber eine hundearbeit zum tippen ] und den schritt $\begin{eqnarray} n_{0+1} \end{eqnarray}$ weiß ich ned genau wie ich des anpacken soll ! bin für jeden tipp dankbar ! servus
31.07.2005, 17:06	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Hi, da du es selbst machen möchtest, werde ich dir mal keinen Link geben. Denn das wurde hier schon öfters gemacht. Zum Induktionsschritt schreibst du einfach $\begin{eqnarray} (a+b)^{n+1}=(a+b)^n\cdot (a+b) \end{eqnarray}$ und jetzt wendest du die Induktionsvoraussetzung an. Später brauchst du dann noch $\begin{eqnarray} {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS PS: Wenn man latex länger macht, dann geht das auch schon viel schneller.
31.07.2005, 17:23	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann ist $\begin{eqnarray} (a+b)^{n+1}=(a+b) \cdot (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k \cdot (a+b) \end{eqnarray}$ aber ich muss des ja wieder zusammenbringen .. und ich hab keinerlei ahnung wie des zu machen wäre ... noch ein tipp ?
31.07.2005, 17:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das stimmt aber nicht, es ist $\begin{eqnarray} (a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot (a+b)^n=\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^{n-k}b^k \cdot (a+b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^{n+1-k}b^k+\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ={n\choose 0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n~ {n\choose k}a^{n+1-k}b^k+\sum_{k=0}^{n-1}~{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n\choose n}a^0b^{n+1} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du eine Indexverschiebung bei einer der beiden Summen machen. Gruß MSS edit: n-1 statt n eingefügt, danke Arthur!
01.08.2005, 10:09	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
also die erste zeile ist klar, ist ja nur umgeschrieben, aber dann der wechsel von zeile 1 in zeile 2.. da versteh ich einiges nicht! wo kommt bei $\begin{eqnarray} a^{n+1-k} \end{eqnarray}$ des n+1 im exponenten bzw in der zweiten summe $\begin{eqnarray} b^{k+1} \end{eqnarray}$ des k+1 her ? mich wundert des ein bisschen denn des $\begin{eqnarray} (a+b)^1 \end{eqnarray}$ am ende von zeile eins ist doch eigentich das gleiche wie der induktionsanfang ... oder ? servus
01.08.2005, 10:35	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^{n-k}b^k \cdot (a+b)=(\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^{n-k}b^k) \cdot (a+b) \end{eqnarray}$ Und jetzt ausmultiplizieren! Gruß, therisen
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01.08.2005, 11:51	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh! danke! ok, da war das brett vorm kopf mal wieder zu groß ^^ naja, dann setz ich mich mal iweder drann danke schonmal für die gedult !
02.08.2005, 23:57	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ...= {n\choose 0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n~ {n\choose k}a^{n+1-k}b^k+\sum_{k=0}^{n-1}~{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n\choose n}a^0b^{n+1}= \end{eqnarray}$ bisschen umgeschrieben $\begin{eqnarray} = a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^n~{n \choose k}a^{n+1-k}b^k+\sum_{k=0}^{n-1}~{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1} \end{eqnarray}$ so nun die indexverschiebung $\begin{eqnarray} =a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n~{ n \choose k }a^{n+1-k}b^k+\sum_{k+1=m=1}^{n-1+1}~{n \choose m-1} a^{n+1-m}b^{m} \end{eqnarray}$ zusammengefasst $\begin{eqnarray} =a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=m=1}^n \left[ {n \choose k} + { n\choose k-1} \right] a^{n+1-k}b^{k} \end{eqnarray}$ und was muss ich etz noch machen? hab irgendwie den faden verloren ... //edit: massig schreibfehler weggemacht
03.08.2005, 00:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Du brauchst am Ende aber nicht mehr k=m=1 zu schreiben, es ist egal, ob k oder m, aber leg dich auf eins fest. Jetzt benutze $\begin{eqnarray} {n\choose k}+{n\choose k-1}={n+1\choose k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {n+1\choose 0}={n+1\choose n+1}=1 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
03.08.2005, 00:17	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^{n+1}~{{n+1} \choose k} a^{n+1-k}b^{k} \end{eqnarray}$ des wars oder ?
03.08.2005, 00:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast: $\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^{n+1}~{{n+1} \choose k} a^{n+1-k}b^{k} \end{eqnarray}$ Jetzt ist es richtig! Gruß MSS
03.08.2005, 13:32	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar^^ hab ich übersehn... werds mal ausbessern. ok danke euch allen !!! mit freundlichen grüßen euer gerade frisch von der weishetszahn op heimgekommene lazarus !
03.08.2005, 13:47	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
hi ihr zwei ich habe den beweis mitverfolgt, aber leider komme ich beim letzten schritt nicht ganz dahinter, wie ihr a^(n+1) + b^(n+1) ins sigma bekommt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix}(a^{n+1}+b^{n+1}) \end{eqnarray}$ ist klar. das ist aber nicht der letzte summand, denn dieser hat doch die form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix}b^{n+1} \end{eqnarray}$ ??? schönen gruß, simon edit: lazarus aus dem lazaret sozusagen gute besserung
03.08.2005, 13:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem. $\begin{eqnarray} a^{n+1}={n+1\choose 0}a^{n+1-0}b^0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^{n+1}={n+1\choose n+1}a^{n+1-(n+1)}b^{n+1} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
03.08.2005, 13:58	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
super, dankeschön ich habe nicht auf den index geachtet... a^(n+1) stellt dann den ersten summanden dar, und b^(n-1) den letzten. mfg simon
03.08.2005, 14:55	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
was mich noch interessieren würde, ist, was es mit der indexverschiebung auf sich hat... warum macht man das und wie funktionierts?!
03.08.2005, 15:25	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo babelfish, z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=m+1}^{n+1}a_{k-1} \end{eqnarray}$ Gruß, therisen
03.08.2005, 15:30	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
wie es funktioniert: $\begin{eqnarray} \sum_{k=m}^n~a_k= \sum_{k=m+p}^{n+p}~a_{k-p}= \sum_{k=m-q}^{n-q}~a_{k+p} \end{eqnarray}$ hier bei diesem Beweis ist die Verschiebung nötig,weil eine Summe von 1 bis n läuft und die ander von 0 bis n-1.Man hat bei der zweiten Summe die Verschiebung vorngenommen,damit man zwei Summen mit dem gleichen Index hat,die beide von 1 bis n laufen und man sie säter zusammenfassen kann.
03.08.2005, 15:39	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, das ganze ist also nur nötig, wenn zwei summen zusammengefasst werden sollen, sich deren indize aber unterscheiden... richtig?!
03.08.2005, 15:51	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
unter anderem.Es kann aber auch in ganz anderen Ausdrücken sehr helfen. Z.B. hier: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^{4000}~(k-1) \end{eqnarray}$ Jetzt hättest du das Problem,dass du alles von 2 bis 4000 aufsummieren müsstest. Stattdessen machst du aber eine Indexverschiebung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{3999}~k \end{eqnarray}$ So,jetzt kennts du natürlich die Gauß'sche Summenformel für die ersten k Zahlen(k(k+1) / 2) und kannst 3999 dort einsetzen. Also auch für so was braucht man die Indexverschiebung
10.10.2005, 16:55	Besucher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich bin gerade auf einen Induktionsbeweis des Lehrsatzes gestoßen, der etwas anders aufgeschrieben ist als hier. Dabei habe ich ein kleines Problem, wobei ich denke, dass es mit der Indexverschiebung zutun hat. Im Anhang ist der Auszug des Beweises, mit geht es um den Schritt zu den rot markierten Stellen, da verstehe ich nicht ganz, wie das vorgegangen wird. Wäre wirklich dankbar, wenn mir jmd. auf die sprünge helfen könnte Ansonsten habe ich denke ich alles ganz gut verstanden...
10.10.2005, 23:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wurde einfach nur zweimal eine 0 addiert. Anscheinend wurde $\begin{eqnarray} {n\choose -1} \end{eqnarray}$ nach Definition gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ gesetzt. Beachte auch noch $\begin{eqnarray} {n\choose n+1}=0 \end{eqnarray}$ . Folgendes wurde gemacht: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~{n\choose k}x^{k+1}y^{n-k}+\sum_{k=0}^n~{n\choose k}x^ky^{n+1-k}=0+\sum_{k=1}^{n+1}~{n\choose k-1}x^ky^{n+1-k}+\sum_{k=0}^n~{n\choose k}x^ky^{n+1-k}+0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ={n\choose 0-1}x^0y^{n+1-0}+\sum_{k=1}^{n+1}~{n\choose k-1}x^ky^{n+1-k}+\sum_{k=0}^n~{n\choose k}x^ky^{n+1-k}+{n\choose n+1}x^{n+1}y^{n+1-(n+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^{n+1}~{n\choose k-1}x^ky^{n+1-k}+\sum_{k=0}^{n+1}~{n\choose k}x^ky^{n+1-k} \end{eqnarray}$ . Normalerweise macht man das eigentlich etwas anders, aber nun gut. Gruß MSS
11.10.2005, 06:49	Besucher	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, vielen Dank für deine schnelle Hilfe, auch noch so spät am Abend ich denke, jetzt habe ich verstanden, wie es gehen soll. Da finde ich eure Herleitung eine Seite früher aberigendwie besser Danke dir!

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