Asymptoten und Punktsymmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen

06.02.2008, 16:45

M1cha

Asymptoten und Punktsymmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen

Folgende Funktion ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2-3x}{x-2} \end{eqnarray*}$

Eine Polgerade ist bei x = 2, und die schiefe bzw. schräge Asymptote ist y= x-1 (durch Polynomdivision berechnet)

Man sollte jetzt beweisen, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt Z(2 | 1) ist.
$\begin{eqnarray*} -f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$ kann man hier ja nicht benutzen, da es nur bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt.
Eben in der Schule haben wir dann 2 andere Methoden kennen gelernt, mit gleicher Steigung etc.

Meine eigentliche Frage ist aber eine andere, und zwar:
Bei oben genannter Funktion fällt ja auf, dass der Schnittpunkt von beiden Asymptoten gleich der Punkt der Punktsymmetrie ist(x ist ja schon vorhanden(=2) und 2 in y = x-1 eingesetzt würde den Punkt (2 | 1) ergeben).
Mein Lehrer konnte mir die Frage nicht beantworten und hat sich natürlich wieder mit was anderem belanglosem rausgeredet, also

Ist es hier nur Zufall, dass der Schnittpunkt gleich diesem Punkt der P-Symmetrie ist, oder kann man das bei jeder gebrochenrationelen Funktion so machen, die 2 Asymptoten wie hier aufweist?

MfG
M1cha

06.02.2008, 19:49

storm0704

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Es genügt ein Beispiel zu finden, bei dem es nicht so ist, um das zu widerlegen.

06.02.2008, 21:11

M1cha

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$\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ ist in dem Sinne auch keine gebrochen rationale Funktion, hier ist nämlich kein Polynom im Zähler.

Außerdem habe es ich noch einmal mit einer anderen Funktion getestet, was auch klappt!?

Gibts hierfür dann evtl. eine logische Erklärung?
Wäre ja einfacher die Asymptoten gleichzusetzen, anstatt eine Formel zu benutzen.

Achja, für die schiefe Asymptote wird vorausgesetzt, dass der höchste Exponent im Zähler größer ist als der höchste Exponent im Nenner.

07.02.2008, 08:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von M1cha
$\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ ist in dem Sinne auch keine gebrochen rationale Funktion, hier ist nämlich kein Polynom im Zähler.

Natürlich ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ eine gebrochen rationale Funktion. Im Zähler steht das Polynom z(x)=1. Augenzwinkern

Zitat:

Original von M1cha
Achja, für die schiefe Asymptote wird vorausgesetzt, dass der höchste Exponent im Zähler größer ist als der höchste Exponent im Nenner.

Wenn du unter "schiefer Asymptote" eine Gerade meinst, dann muß der Zählergrad genau 1 größer als der Nennergrad sein.

07.02.2008, 15:01

storm0704

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Zitat:

Original von M1cha
Wäre ja einfacher die Asymptoten gleichzusetzen, anstatt eine Formel zu benutzen.

Theoretisch ja, aber du müsstest ja trotzdem noch beweisen, dass es sich um ein Symmetriezentrum handelt.

P.S.: $\begin{eqnarray*} x^{-2} = \frac{x^0}{x^2} \end{eqnarray*}$

07.02.2008, 15:32

M1cha

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das mit $\begin{eqnarray*} 1 = x^0 \end{eqnarray*}$ wusste ich schon, ich war mir aber nicht mehr sicher, ob das auch als Polynom bezeichnet wird, aber hab ich jetzt eingesehen Augenzwinkern

dann hätten wir trotzdem den Fall, dass der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, also würde das ja nicht gegen meine These sprechen.

Find ich aber blöd, dass ich dann trotzdem eine Formel benutzen muss..schließlich muss ich auch nich immer den Satz des Pythagoras herleiten, ich muss ja hinnehmen, dass ich ihn bei einem rechtwinkligen Dreieck benutzen darf.
Bei mir gibts halt nur noch ein paar Einschränkungen mehr Big Laugh

07.02.2008, 15:42

storm0704

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Der Satz des Phytagoras ist ja auch eindeutig bewiesen und gilt damit für jedes rechtwinklige Dreieck.
Du möchtest hier gerne etwas anwenden, was gar nicht geht smile

07.02.2008, 16:36

M1cha

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Der Satz des Pythagoras ist nur bewiesen, weil man kein Dreieck findet, bei dem es anders ist^^

Aber besser verstehen kann mans vllt mit der Physik, denn das meiste in der Physik ist bisher nur angenommen. Es gibt dort irgendwo eine Formel, mit der man ausrechnen kann wie schnell die Zeit läuft, in Abhängigkeit von Masse und Schwerkraft,blabla.. Je schneller sich ein Körper bewegt desto langsamer altert er, wenn er sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt steht für diesen Körper die Zeit still..und wenn man sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegt läuft die Zeit wieder rückwärts.
Die Formel wird allgemein als gültig erklärt, denn für v < c ( geschw. < lichtgesch. ) stimmt sie,das konnte man auch messen, nur kann niemand beweisen, dass es für v = c und v > c auch klappt.

Und bei mir ist es ja irgendwie ähnlich,für manche klappt es, und ich hab noch keins gefunden, bei dem es nicht klappt. Augenzwinkern

07.02.2008, 21:27

storm0704

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Zitat:

Original von M1cha
Der Satz des Pythagoras ist nur bewiesen, weil man kein Dreieck findet, bei dem es anders ist^^

Das stimmt so nicht ganz. Der Satz ist allgemein bewiesen, da cos(90°) = 0 => $\begin{eqnarray*} c^2 = a^2 + b^2 + 2\cdot a \cdot b\cdot 0 \end{eqnarray*}$
Außer diesem Beweis gibt es noch hunderte(!!) andere. Einfach mal bei Wikipedia gucken, da steht was darüber drin.

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