Relationen II

06.02.2008, 18:01	freddijr	Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen II Hallo! Ich habe hier einige Fragen über Relationen, mit denen ich nicht ganz klar komme. 1. Auf einer Menge mit drei Elementen gibt es genau 5 verschiedene Äquivalenzrelationen. Wahr oder falsch? Erstmal habe ich mir folgendes als Vorüberlegung gedacht: Das Kreuzprodukt der Menge M hat 3^2 Elemente (wäre hierfür also eine allgemeine Formel \|MxM\| = \|M\|^2 ?) und somit die Potenzmenge von MxM 2^9 Elemente. So, gibt es damit 2^9 Relationen? Oder vielleicht 2^9-1, wegen der leeren Menge? So, wie viele davon sind nun aber Äquivalenzrelationen? Wie zum Henker rechne ich das aus?
06.02.2008, 18:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Äquivalenzrelation liefert eine Partition und umgekehrt.
06.02.2008, 18:26	freddijr	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ok. das ist gut zu wissen. Wie darf ich mir das denn zB bei M={1,2,3} vorstellen? Wenn ich zB die Partition {{1},{2},{3}} nehme. Die müsste ja dann eine Äquivalenzrelation liefern. Inwiefern genau tut sie das denn? Kannst du da vielleicht mal bitte eine Überprüfung exemplarisch dran vornehmen? Stimmen denn meine anderen Überlegungen von oben?
06.02.2008, 19:29	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ eine Partition von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , so definiert man eine Äquivalenzrelation durch $\begin{eqnarray} x\sim y \end{eqnarray}$ genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ (wie Nebenklasse) in $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} x,y\in N \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} P=M/\sim \end{eqnarray}$
07.02.2008, 15:26	freddijr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Ich hab noch eine weitere Frage. Wenn ich wissen möchte wie viele reflexive Relationen es auf einer dreielementigen Menge gibt, wie rechne ich das aus? Also es gibt ja 2^9 Relationen insgesamt. Für die reflexiven muss ja (m,m) in der Relation enthalten sein. Das heißt 3 Elemente meiner Kreuzmenge müssen vorkommen. Heißt das, dass es nur noch 2^6 reflexive Relationen gibt? Ich nehme sozusagen nur 2^(Rest). Soo 100% wär mir das kombinatorisch nicht klar, aber das könnte ich mir wenigstens merken.
07.02.2008, 15:39	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf einer n-elementigen Menge gibt es $\begin{eqnarray} 2^{n^2} \end{eqnarray}$ Relationen. Also $\begin{eqnarray} 2^{n^2-n} \end{eqnarray}$ reflexive Relationen.
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18.02.2008, 15:01	freddijr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Ich habe da doch noch mal eine Frage. Also, wenn ich wissen möchte, wie viele Äquivalenzrelationen es auf einer n-elementigen Menge gibt, dann kann ich das mit den Stirling Zahlen zweiter Art ausrechnen, richtig? Also z.B. mit den 3 Elementen. Müsste ich dann S3,1 und S3,2 und S3,3 ausrechnen? Danke!
18.02.2008, 15:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und dann addieren. Das nennt man dann eine sogenannte Bellsche Zahl.
20.02.2008, 22:20	Stefan_K	Auf diesen Beitrag antworten »
Bell-Zahlen Hi freddijr, zu den Bellzahlen siehe übrigens Bell Number auf mathworld, da gibts auch eine bildliche Darstellung für die Konstruktion von Bell-Zahlen. Viele Grüße, Stefan

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