Lösen eines LGS für Parameter (b)? |
| 01.08.2005, 15:42 | svenb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lösen eines LGS für Parameter (b)? Es ist schon etwas her das ich sowas gemacht habe, deshalb meine Frage zu folgender Aufgabenstellung: Für welche b element R ist das LGS lösbar? x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = 3 -x1 + 2x2 + x3 - 3x4 = -5 2x1 + 5x4 = 9 -2x1 + 4x2 - 6x4 = 2b - 15 4x2 + 4x3 - x4 = 0 Das würd ich dann als Matrix aufstellen und auf Treppenform bringen. Jetzt ist mir aber nicht mehr klar was mit dem b passiert bzw. dem 2b. Angenommen ich addiere 2*Z1 mit Z4, was passiert dann mit dem 2b-15? rechne ich dann nur -15+6 = -9 ? oder muss dort das 2b auch noch berücksichtigt werden, also: 2b+6 -15+6 ? Kann ich mir nicht vorstellen, denn dann käme ja 2b -3 raus. Hoffe auf Tipps. Danke schonmal für die Hilfe! |
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| 01.08.2005, 15:46 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2b-9 |
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| 01.08.2005, 15:53 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst dich noch einfach um den Parameter drücken, das LGS mit den vier anderen Gleichungen lösen. Die Lösung (wenn es keine gibt, ist das System ohnehin ohne Lösung, bei unendlich vielen ist der Schluss darauf, welche b das System erfüllen auch einfach) setzst du in die Gleichung mit dem Parameter ein und erhältst ein b. Auf diesem Weg ist man doch recht schnell und es kommt auch was Schönes raus. 
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| 01.08.2005, 16:57 | svenb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo (sqrt(2)) ich hab das jetzt mal wie du gesagt hast, nur mit den 4 Gl. versucht und hab folgendes rausbekommen: 1 2 -1 2 3 0 4 0 -1 -2 0 0 4 0,5 6 0 0 0 -0,5 -6 Rang =4 und n = r ! was ja heißt das es genau eine Lösung gibt. Dann stell ich jetzt das gestaffelte System auf? Also -0,5x4 = -6 = 12; 4x3 + 0,5*12 = 6 -> x3 = 0; 4x2 -12 = -2 -> x2 = 10/4 = 2,5 1x1 +5 - 0 + 24 = 3 = -26 x1 = -26; x2 = 2,5; x3 = 0; x4 = 12 Die Werte setze ich dann für die vorher entfallene Gleichung ein und erhalte dann: -10 = 2b - 15 -> 5 = 2b /2 b= 2,5 hab ich das jetzt so richtig gemacht? Falls nein bitte ich um weitere Erklärungen. Hmmm....Also beim Einsetzen in die Ausgangsgleichungen erhalte ich bei Gl 5 -2 anstatt 0 und bei Gl3 8 anstatt 9. Da hab ich wohl einen Fehler drin.... |
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| 01.08.2005, 17:17 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Weg ist richtig.
Die 3. und 4. Zeile sind falsch. So sieht die entsprechende Umformung bei mir aus. Sowas
ist übrigens schon sehr unschön... Auf die Schreibweise solltest du achten. . |
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| 01.08.2005, 17:38 | svenb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke, dann muss ich aber jetzt noch Z4 - 2*Z3 machen, um auf Treppenform zu kommen, also das ich dann für 3*x4 = 0 habe usw.... das ich die Werte dann für die Gleichung mit b einsetzen kann, stimmt ja dann auch. Wie muss ich denn vorgehen bei unendlich vielen Lösungen? Speziell mit so einem Parameter ("b"). Danke nochmal!!! |
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| 01.08.2005, 17:46 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau dir mal die Gleichung mit dem Parameter an. Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, kann die linke Seite unendlich viele Werte annehmen... |
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| 01.08.2005, 18:13 | svenb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zählt die Lösung mit dem Wert für den ich b bei der eindeutigen Lösung gefunden habe dann auch dazu? Oder sind es alle außer der eindeutigen? Mal angenommen die letzte Zeile wäre eine Nullzeile dann wär doch n>r also 4-3 und würde (noch) einen Parameter enthalten. Würde das dann auch noch mit dem "b" funktionieren? Also das ich z.B x4 = Lambda wähle und dann wieder ein gestaffeltes System von unten nach oben erstelle? |
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| 01.08.2005, 18:23 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es wäre ein ganz anderes Gleichungssystem.
Ersetze die Nullzeile durch die Zeile mit dem Parameter (erhöhe also den Rang) und suche wieder den Lösungsvektor. Dieser wird abhängig von b sein, also gibt es unendlich viele b, für die es einen Lösungsvektor gibt. |
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