Größte Primzahl? [gelöst]

01.08.2005, 16:12

james200

Größte Primzahl? [gelöst]

Ein ganze Reihe von dreistelligen Zahlen lässt sich in folgender Form darstellen:

abc = Quersumme(abc) * p

wobei p eine Primzahl ist.

Welches ist dabei die größte auftretende Primzahl?

wer hilft mir weiter?

Gruß,James200 Wink

01.08.2005, 16:19

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89 - durch Bruteforce oder etwas Nachdenken ...

01.08.2005, 16:26

james200

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was bitte ist Brueforce??? verwirrt

01.08.2005, 16:35

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Bruteforce (übersetzt sowas wie "rohe Gewalt") bedeutet, dass man einfach alle dreistelligen Zahlen durchprobiert, etwa mit Hilfe eines kleinen Computerprogrammes, welches dann die passenden Kandidaten herausfischt.

Ich hab es aber durch Nachdenken gelöst. Augenzwinkern

17.07.2008, 19:26

Schalker94

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brude force
brude force ( bestimmt falsch geschriben ) ist wenn man einfach alles durchprobiert dann muss man auf das richtige ergebniss kommen

17.07.2008, 20:06

Airblader

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Wunderbar. Ein 3 Jahre altes Thema rausgeholt, um etwas zu erklären, was bereits erklärt wurde und dann nichtmal richtig schreiben.

Tolle Leistung! unglücklich

air

17.07.2008, 21:55

Duedi

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Unterhaltend auf jeden Fall Big Laugh

17.07.2008, 22:44

Q-fLaDeN

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Sry, aber das muss ich jetzt noch anfügen:

Er hat zudem den besten Nickname aller Zeiten Big Laugh

06.08.2008, 23:07

Siddhartha

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Kann mir mal bitte jemand das Prinzip erklären?

06.08.2008, 23:09

Airblader

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Wieso? Das ist hier doch ganz wunderbar erklärt.

Oder welches meinst du nun verwirrt

air

07.08.2008, 09:26

Siddhartha

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Zitat:

Original von AirbladerOder welches meinst du nun verwirrt

Nimm das nächstliegende Problem.
Tipp: schau dir das Thema dieses Threads an.

Augenzwinkern

07.08.2008, 16:37

Airblader

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Dessen bin ich mir durchaus bewusst.
Aber leider weiß ich nach wie vor nicht, welches Prinzip sie meint. Das einzige "Prinzip", das hier erwähnt wurde, war Brute Force - und das hat man bereits erklärt.

Darum meine, auch wenn nicht als solche erkannte, ironische Antwort.

air

07.08.2008, 17:18

Siddhartha

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Zitat:

Original von Airblader
Dessen bin ich mir durchaus bewusst.
Aber leider weiß ich nach wie vor nicht, welches Prinzip sie meint. Das einzige "Prinzip", das hier erwähnt wurde, war Brute Force - und das hat man bereits erklärt.

Darum meine, auch wenn nicht als solche erkannte, ironische Antwort.

air

Die Ironie habe ich sehr wohl erkannt, nur dachte ich dass es eine Formel gibt welche die Antwort ausgibt.
Das ist doch wohl der Sinn bei Mathe, für mitunter schwierige Probleme möglichst logisch elegante Lösungen zu finden. Bruteforce will ich da nicht sehen.

Schon mal einen Bodybuilder-Mathematiker gesehen?^^
Ich kenne eigentlich nur recht dürre.

07.08.2008, 17:21

Duedi

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Bodybuildermathematiker? Schau dir mal eines der Videos bei www.midnighttutor.com an Augenzwinkern

07.08.2008, 17:28

Siddhartha

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Zitat:

Original von Duedi
Bodybuildermathematiker? Schau dir mal eines der Videos bei www.midnighttutor.com an Augenzwinkern

Muss ich eigentlich in die +1 Foren gehen um ernsthaft mit anderen diskutieren zu können?

Ich hoffe doch nicht. Augenzwinkern

Also..ein Vorschlag?

07.08.2008, 17:32

kiste

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In der Mathematik gibt es eben nicht für alles eine Formel! Die meisten Lösungen bekommt man nicht durch Anwenden einer Formel sondern durch Nachdenken und logisches Schließen.

edit: Dieser midnight tutor scheint ziemlich viel um den heißen Brei zu reden Big Laugh

Hab mir nur kurz die Erklärung zu Lagrange Multiplikatoren angeschaut

07.08.2008, 18:03

Duedi

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Also ich persönlich verabscheue Kochrezeptmathematik, ich benutze in der Schule nie die Matheformelsammlung, lieber leite ich mir einen Sachverhalt nochmal her.

07.08.2008, 18:08

Airblader

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Hier mal ein paar meiner Überlegungen .. einfach spontane Ideen:

$\begin{eqnarray*} 100x + 10y + z = p \cdot (x+y+z) \end{eqnarray*}$

Damit die Zahl dreistellig ist, muss x ungleich 0 sein. Damit ist

$\begin{eqnarray*} p \cdot (x+y+z) \geq p \qquad \wedge \qquad p \cdot (x+y+z) \leq 27p \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} 27p \geq 100x + 10y + z \geq p \end{eqnarray*}$

Anders gesagt:
Die Primzahlen müssen kleiner/gleich als die 3-stellige Zahl sein, jedoch größer/gleich als 1/27 davon.

Die größte 3-stellige Zahl ist 999. Also ist p <= 997 (998 und 999 sind eh keine Primzahlen, fallen also weg).
Die kleinste 3-stellige Zahl ist 100. Davon 1/27 ist 3,7..., also p >=5 (da 4 keine Primzahl ist).
Also $\begin{eqnarray*} 5 \leq p \leq 997 \end{eqnarray*}$

Da wir zudem 100x+10y+z=100 direkt ausschließen können, ist zudem x+y+z > 1 bzw. x+y+z >= 2 und damit p < 500, da die Zahl sonst 4-stellig wird.
Die Primzahl, die am nächsten an 500 dran, aber trotzdem kleiner ist, ist direkt die 499, also

$\begin{eqnarray*} 5 \leq p \leq 499 \end{eqnarray*}$

Nun muss man die Fälle überprüfen, ob unsere 3-stellige Zahl 101 oder 110 sein kann. Beide Male kommt ein "Nein".
Damit grenzen wir weiter ein auf x+y+z >= 3 und erhalten so p <= 333 bzw. mit der nächstkleineren Primzahl

$\begin{eqnarray*} 5 \leq p \leq 331 \end{eqnarray*}$

Nun gilt es die Zahlen 102, 111, 120, 201, 210, 300 zu überprüfen. Die 111 und 201 sind dabei mögliche Kandidaten, jeweils mit den Primzahlen 37 und 67. Es ist natürlich 37 < 67.
Behalten wir uns also die 67 im Gedächtnis und grenzen auf x+y+z >= 4 ein, womit wir für die nächstkleinere Primzahl

$\begin{eqnarray*} 5 \leq p \leq 241 \qquad \vee~ p = 67 \end{eqnarray*}$

erhalten. Da uns die 67 gesichert ist also

$\begin{eqnarray*} 67 \leq p \leq 241 \end{eqnarray*}$

Ab hier würde es aber mMn zu mühselig werden, alle mögl. Kombinationen durchzuprobieren, bei denen die Quersumme 4 ist (und x >= 1 !).
Aber immerhin schonmal eine gewisse Eingrenzung .. nicht ganz ohne Probieren, aber eben kein BruteForce Augenzwinkern

Aber so kommt man Schritt für Schritt der Lösung immer näher.

Edit:
Die Kandidaten wären jedenfalls

112 -> Nope
121 -> Nope
211 -> Nope
202 -> Nope
220 -> Nope
103 -> Nope
130 -> Nope
310 -> Nope
301 -> Nope
400 -> Nope

Und damit $\begin{eqnarray*} 67 \leq p \leq 199 \end{eqnarray*}$

Edit #2:

Im nächsten Schritt dann $\begin{eqnarray*} 67 \leq p \leq 163 \end{eqnarray*}$

Und dann $\begin{eqnarray*} 67 \leq p \leq 139 \end{eqnarray*}$

Edit #3:
Achja .. man testet einen "Kandidaten" übrigens ganz simpel, indem man ihn durch seine Quersumme dividiert und schaut, ob eine Primzahl rauskommt.
Ist ja ein recht leichter Test, da oft entweder nicht-ganze, gerade oder durch 5 teilbare Zahlen rauskommen, denen man ja sofort ansieht, dass sie nicht prim sind. Eine kleine Primzahlentabelle hilft bei den anderen dann, ganz schnell zu entscheiden.

air

08.08.2008, 08:57

pandu1

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Noch ein Paar überlegungen:..

$\begin{eqnarray*} 100x + 10y + z = p \cdot (x+y+z) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass p kleinergleich 100 ist.
also p könnte 97, 89, 83... und kleiner sein.

mit 97 haben wir:

$\begin{eqnarray*} 3x = 87y + 96z \end{eqnarray*}$

Das kriegen wir mit Ziffern nicht gelöst.

mit 89:
$\begin{eqnarray*} 11x = 79y + 88z \end{eqnarray*}$

sieht schon mal besser aus. 79y wird einfach weggeworfen, indem y auf 0 gesetzt wird.

$\begin{eqnarray*} 11x = 88z \end{eqnarray*}$

x =8, und z=1 (durch etwas Nachdenken ... )

$\begin{eqnarray*} 801 = 89 \cdot (8+0+1) \end{eqnarray*}$

08.08.2008, 15:33

Airblader

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Darf ich fragen, wie du auf die Folgerung p < 100 kommst verwirrt

air

08.08.2008, 15:37

tmo

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$\begin{eqnarray*} 101(x+y+z) > 100(x+y+z) \geq 100x+10y+z \end{eqnarray*}$

08.08.2008, 16:28

Airblader

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Ah . ja .. logisch. Mal wieder ein Brett vorm Kopf gehabt Augenzwinkern

air

11.08.2008, 15:59

pandu1

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Wie wäre es denn mit vierstelligen Zahlen?

Edit:
Bei 4-Stelligen ist die max. Primzahl 631 (für 8203 und 6310), mit nur etwas Nachdenken hat es bei mir leider nicht geklappt.
Rekord Primzahl für 3-Steller ist 37.
Für abc = Quersumme(abc) *37 gibt es 15 Dreisteller:
111,222,333,370,407
444,481,518,555,592
629,666,777,888,999

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