endliche Varianz

Neue Frage »

vielleicht Auf diesen Beitrag antworten »
endliche Varianz
Guten Abend!

Welche Bedingungen muß ich an eine ZV stellen, damit ich schließen kann, daß die Varianz dieser ZV endlich bzw. beschränkt ist?

Vielen Dank für weiterhelfende Antworten!

Gott
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine bessere "Genau dann, wenn"-Bedingung für eine endliche Varianz von als die Endlichkeit der Varianz selbst gibt es nicht! Zumindest wenn man mal von der äquivalenten Bedingung absieht ... Augenzwinkern

Es gibt nur wenige hinreichende Bedingungen dafür, die "einfacher" nachprüfbar sind als die Berechnung (oder Abschätzung) der Varianz selbst. Zu nennen wäre da etwa ein beschränkter Wertebereich der Zufallsgröße. Das ist hinreichend für eine endliche Varianz, aber natürlich keinesfalls notwendig.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das dürfte für allgemeine Zufallsvariablen sehr schwierig sein. (obwohl keine anderen als diskrete und stetige kenne, aber selbst für die ist es schwierig genug.)
Zu diskreten ist zumindest mal so viel zu sagen: Bei endlichem Wertevorrat der Zufallsvariablen ist der Erwartungswert bzw. die Varianz endlich. (s. Arthur)
Für einen abzählbar unendlichen Wertebereich ist der Erwartungswert bzw. die Varianz genau dann endlich, wenn



absolut konvergiert bzw. wenn



konvergiert. Das ist eigentlich nichts anderes als die Definition. Aber eine kleine Vereinfachung zur Berechnung des Erwartungswertes ist es schon, denn es muss ja "nur" auf Konvergenz untersucht werden und die Kriterien dafür sind ja vielfältig.
Entsprechendes gilt für stetige Zufallsvariablen, ich kopiere einfach meinen Text und ändere ihn ein wenig:

Für eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte ist der Erwartungswert bzw. die Varianz genau dann endlich, wenn



absolut konvergiert bzw. wenn



konvergiert. Das ist wiederum nichts anderes als die Definition. Aber eine kleine Vereinfachung zur Berechnung des Erwartungswertes ist es trotzdem wieder, denn es muss ja auch hier "nur" auf Konvergenz untersucht werden und die Kriterien dafür sind bei Integralen ebenfalls nicht wenig vorhanden.

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler


absolut konvergiert bzw. wenn



Das "bzw." musst du durch "und" ersetzen! Oder meinst du in der ersten Zeile



? verwirrt

Die absolute Konvergenz von



allein reicht nämlich nicht aus!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mich missverstanden. Das erste bezieht sich auf die Endlichkeit des Erwartungswerts und das zweite auf die Endlichkeit der Varianz. Ich hatte den Beitrag angefangen mit dem Gedanken, dass nach der Endlichkeit des Erwartungswerts gefragt wird und als ich dann sah, dass ich mich irrte, da habe ich es einfach stehen lassen. Augenzwinkern
Guck mal in meinen Text, da habe ich immer Erwartungswert/Varianz geschrieben. Wenn du möchtest, kann ich anstelle des "/" auch ein "bzw." schreiben. Big Laugh smile

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann darfst du den Satz nicht so beginnen

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Für einen abzählbar unendlichen Wertebereich ist der Erwartungswert/die Varianz genau dann endlich, wenn

sondern eher so

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Für einen abzählbar unendlichen Wertebereich ist der Erwartungswert bzw. die Varianz genau dann endlich, wenn


Dann korrespondieren die "bzw."-Zweige auch richtig miteinander. smile


EDIT: Sch... Schreibfehler.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte nicht, dass das jemand falsch deuten könnte. Oder hast du es etwa richtig gedeutet und trotzdem protestiert. *g* Augenzwinkern

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So bösartig bin ich nicht. Ich habe das tatsächlich falsch gedeutet.

Im übrigen: Mit der Bedingung



sind sowohl Erwartungswert als auch Varianz existent, und umgekehrt!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ist bei der umgekehrten Richtung gemeint, dass Existenz von Erwartungswert bzw. Varianz allein hinreichend ist für die Konvergenz dieser Reihe oder müssen beide gleichzeitig vorhanden sein?
Letzteres wäre ja trivial, da



ist. Die Hinrichtung will mir allerdings nicht so ganz gelingen. Da ist ja nur entscheidend, die Existenz einer der beiden Größen zu zeigen, da die Existenz der anderen daraus folgt.

PS: Hast du in LaTeX eine besondere Schreibweise für das E beim Erwartungswert? Ich erinnere mich, so etwas gesehen zu haben. verwirrt

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage nur: CSU

Und damit meine ich nicht Christlich Soziale Union, sondern Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in der Form

,

was z.B. für diskrete Zufallsgrößen bedeutet

.


P.S.: Die Schreibweise mit \mathbb{E} ist kein Muss, sondern eben mein Stil. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte selbst grad an etwas Ähnliches gedacht und schnell mal im Heuser nachgeschlagen. Das hat aber dann doch nicht gestimmt. Dann hatte ich erstmal die Minkowskische Ungleichung vor Augen, aber die bringt ja nichts. Auf die CSU bin ich nicht gekommen, obwohl ich die sogar beim Lesen der Seite selbst vollkommen gelesen hab. Hammer
Das ärgert mich! *g* Trotzdem danke, auch wenn du immer zu viel verrätst, wenn ich dich was frage! Big Laugh (der Tipp CSU hätte wahrscheinlich gereicht und ich hätte einen Teil selber machen können.)
Und für stetige Zufallsvariable klappt das ja auch, du hast Recht. Hammer Hab sogar vergessen, dass die Gleichung auch für stetige Zufallsvariable gilt.
Aber du hast mir jetzt noch nicht verraten, wie du die Rückrichtung genau formulierst!?

PS: Ich find das aber auch schöner, deswegen werd ich \mathbb E auch benutzen - natürlich nur, wenn es dir nichts ausmacht. Augenzwinkern Aber warum setzt du denn keine Klammern? Wegen des Zeichens? Soll das also schon eindeutig das E mit Klammern symbolisieren? Augenzwinkern
Und schreibst du auch für ? Ich find das auch schöner ...

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Aber du hast mir jetzt noch nicht verraten, wie du die Rückrichtung genau formulierst!?

OK, war etwas schlampig formuliert. So war es jedenfalls gemeint:

1) Gilt , so existieren sowohl Erwartungswert und Varianz.

2) Existiert die Varianz, d.h. , so existiert auch der Erwartungswert und es folgt dann

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Aber warum setzt du denn keine Klammern? Wegen des Zeichens? Soll das also schon eindeutig das E mit Klammern symbolisieren? Augenzwinkern
Im Zweifelsfall gilt natürlich die auch sonst gültige Regel: Besser mehr als zuwenig Klammern. Aber wie bei anderen Operatoren auch lässt man die Klammern auch gern mal weg...

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Und schreibst du auch für ? Ich find das auch schöner ...

So habe ich es damals auch kennengelernt - und bin inzwischen "umerzogen" worden: Die Schreibweise ist nämlich im anglophilen Sprachraum gänzlich unbekannt, dort findet vorrangig Verwendung, siehe z.B.

http://en.wikipedia.org/wiki/Variance
http://mathworld.wolfram.com/Variance.html
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut danke. Mal sehen, wie ich das dann in Zukunft machen werde. Wahrscheinlich werde ich es sowieso nicht so oft brauchen. Hammer
Zitat:
Original von Arthur Dent
2) Existiert die Varianz, d.h. , so existiert auch der Erwartungswert und es folgt dann

Aus folgt doch nach Definition, dass existiert oder? Sonst könnte man ja gar keine Varianz berechnen. Oder gibt es eine Definition der Varianz unabhängig vom Erwartungswert? Die nächste Folgerung ist ja dann nur die Gleichung .

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Aus folgt doch nach Definition, dass existiert oder?

Allerdings. smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, danke. Freude Wollte nur nochmal auf Nummer sicher gehen, obwohl ich mir sehr sicher war. Augenzwinkern

Gruß MSS
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »