Fragen zu Vektor-Aufgabe

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svenb Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Vektor-Aufgabe
Hallo @all

ich hab ein paar Probleme mit folgender Vektoraufgabe:

Durch die Gleichung 2x+y+z=4 ist eine Ebene im R^3 gegeben.

a) Gebe E in parametrischer Form an.

b) Gebe alle Ebenen an, die parallel zu E im Abstand d=2 verlaufen

c) Gebe eine (beliebige) Gerade g in Punkt-Richtungs-Form an, die in der Ebene liegt.

d) Gebe die Ebene an, die senkrecht auf E steht und mit E die Schnittgerade g= P(1;1;1) + Lambda (3;0;-1) gemeinsam hat.

Hier mal mein Ansatz:

zu a)
suche 3 Punkte die für die Gleichung zutreffen.

A= (4;0;0) , B= (1;1;1) , C= (0;0;2)

Aufpunkte: AB = (-3;1;1); AC = (-4;0;2)

Dann ist E: (4;0;0) + Lambda (-3;1;1) + mü (-4;0;2)

Stimmt das dann alles für Frage a) ?

zu b)

Normalenvektor n= (2;1;1)

das mit der Hesseschen-NF schnall ich noch nicht so ganz, gerade dann wenn d wie hier schon gegeben ist.
Also Betrag von n = Wurzel6

HNF: n0 = 1/Wurzel6*(2;1;1) = Einheitsvektor

A = Punkt A (4;0;0)

A' = A* +2/Wurzel6*n

A'' = A* -2/Wurzel6*n

da komm ich dann nicht mehr weiter.....Help :-)


zu c)
nehme 2 Punkte:

g = (4;0;0) + Lambda * AB

stimmt das so?

zu d)

n = (2;1;1) = Richtungsvektor
a = (3;0;-1) = Richtungsvektor der Geraden

Punkt P = (1;1;1)

E = P + Lambda*a + mü * n

jetzt ist aber n*a !=0 also nicht orthogonal

Dann ist G doch nicht in E1 und auch keine Schnittgerade, oder?

wie soll man das sonst lösen oder ist das Absicht in der Aufgabe?

So ich hoffe auf Hilfe und Verbesserungsvorschläge

Dankeschön!!!
sven
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

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JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

schritt für schritt

a) ist (wenn du dich nicht verrechnet hast) richtig

bei b) kommst du nicht weiter, aber ich kann auch nicht ganz deinen ausführungen folgen
du hast deinen normierten einheitsvektor, den gehst du von einem ebenenpunkt 2 mal (und auch noch einmal -2 mal um die andere richtung zu kriegen)? (wenn ja: dann ist das gut)
dann bekommst du (jeweils) einen punkt der anderen ebene.
nun musst du mithilfe dieses punktes die andere ebene jeweils aufstellen; überlege dir dazu welche form diese ebenen haben, wenn du sie mit deiner vergleichst....
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

zu b)

ja das mit dem + und - war so gemeint, allerdings weiß ich nicht ob das mit dem Punkt A so stimmt: also das ich A*...rechne.
A = Punkt A (4;0;0)

A' = A* +2/Wurzel6*n

A'' = A* -2/Wurzel6*n

also so:

* 2/*

aber da kommen doch keine gescheiten Zahlen raus :-(

bitte um weitere Erklärungen....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

argh, ja, wieso denn auch "*"?
was willst du denn hier mit mal?
du musst 2 mal den normaleneinheitsvektor dranaddieren (im anschauungsraum IR^3: den vektor "anhängen")
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

also stimmt die Aufstellung wie oben, nur (4;0;0) + statt * ? kann ich mir aber auch nicht vorstellen, weil halt so komische Zahlen rauskommen. Da muss doch noch ein Fehler sein?!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das könnte daran liegen, dass schon deine punkte falsch sind
oder hast du die ebene falsch angegeben?

(4/0/0) erfüllt nicht 2x+y+z=4, genauso wenig (0/0/2)
ist deine ebene vielleicht x+y+2z=4?

ansonsten: komische zahlen siond ja fast vorprogrammiert, wenn dein normierter normalenvektor wurzel 6 als faktor drin hat...
von solchen zahlen nicht abschrecken lassen
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

ups...danke für den Hinweis, die Gleichung stimmt zwar nur hab ich die x und z werte der Punkte vertauscht Hammer

Dann änder ich das später damit die anderen Teilaufgaben auch hinhauen...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
überlege dir dazu welche form diese ebenen haben, wenn du sie mit deiner vergleichst....

welche form haben denn allgemein parallele ebenen zu deiner ebene?
da steckt dann ein parameter drin, den du mithilfe deiner punkte berechnen kannst
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
überlege dir dazu welche form diese ebenen haben, wenn du sie mit deiner vergleichst....

welche form haben denn allgemein parallele ebenen zu deiner ebene?
da steckt dann ein parameter drin, den du mithilfe deiner punkte berechnen kannst


meinst du die Vorraussetzung für parallele Ebenen? Also n1 KreuzPr. n2 = 0
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

fast noch einfacher!

ax+by+cz=d und ax+by+cz=e sind parallel für alle a,b,c (d,e)

wie mus das also in deinem falle aussehen?
variabel ist bei dir der konstante wert



edit: das folgt viel einfacher daraus, dass die normalenvektoren vielfache voneinander sein müssen
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

also ich steh wohl heute Morgen auch noch auf dem berühmten Schlauch :-)

mit a, b, c, meinste du da die Punkte die für die Gleichung stimmen?

also d müsste ich dann auf = 2 setzen und auch -2.

und das mit dem vielfachen von n? Also n1 ist (2;1;1) dann könnte ich n2 = (4;2;2) aufstellen?

Kann man nicht folgende Formel umstellen?

d = |n1 * (r1 - r2)| / |n1| also das dort d = 2 ist ?

wäre super wenn du es anhand des Beispiels oder mit anderen Zahlen zeigen könntest, bei dem theorethischen Zeug blick ich nicht mehr durch.

Hier nochmal die korriegierten Punkte: A=(0;0;4); B=(1;1;1); C=(2;0;0)


zu c) Stimmt die Aufstellung denn so, wenn man die richtigen Punkte nimmt?

zu d) hier bin ich auch noch verwirrt, da n*a !=0 also schneidet G E1.
seh ich das richtig? wie stell ich dann E2 auf?
Also Punkt der Geraden (1;1;1) +Lambda (3;0;-1) + mü (2;1;1) ?

reicht das so für die Parameterform bzw. zum beantworten der Aufgabe?

danke schonmal!!


noch eine andere Frage: zur Schnittpunktberechnung einer Geraden und Ebene:

g= P(0;6;-4) a(3;3;-1)hoch t ? was bedeutet das hoch t?

e= 17x -10y + 4z = -25

Berechne Schnittpunkt von e und g:

wie erstelle ich hierbei Ortsvektor r0?

wegen n * (r0 - r1)/ n*a = Lambda(S)


danke!

edit. Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
g= P(0;6;-4) a(3;3;-1)hoch t ? was bedeutet das hoch t?


hast du dich da eventuell verschrieben oder verlesen? wei lautet denn deinen komplette geradengleichung?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
g= P(0;6;-4) a(3;3;-1)hoch t

das ist sogar geradezu schmus so, wie es steht
soll das: sein?

Zitat:
e= 17x.....

E: 17x......



2 ebenen in koordinatenform sind dann gleich, wenn die koeffizienten gleich sind (bzw. jeweils das entsprechende vielfache)
also z.b. 7x+3y+z=0 und 7x+3y+z=19 und 14x+6y+2z=97812,4
und ganz allgemein ALLE paralellelel ebenen dazu haben dann die form 7x+3y+z=d

mfg jochen
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
[QUOTE]g= P(0;6;-4) a(3;3;-1)hoch t


soll das: sein?

Zitat:
e= 17x.....


ja so, nur das das hoch t nicht beim Punkt P steht.
hier mal der Link zur Aufgabe: Klick


kann mir keiner für mich verständlich verraten, wie ich hier den Schnittpunkt berechne?
Brauche nur den Ortsvektro r0 um nach Lambdas S aufzulösen
nur wie komm ich an den ran?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das ist falsch so, wie du schreibst

das ^t bedeutet nur, dass du aus dem zeilenvektor einen spaltenvektor machst


deine angabe macht keinen sinn, denn du brauchst vorne keinen PUNKT sondern einen vektor
svenb Auf diesen Beitrag antworten »

Ortsvektor ist doch auch ein Vektor oder ?

Wie würdest du denn das aufstellen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

aber P(x/y/z) ist kein vektor! das sind punktkoordinaten!
ein vektor wirds so, wie ich oben geschrieben habe als spaltenvektor (bzw. als transponierter, so heißt dieses "t", zeilenvektor!)

zur sache: setz mal einen allgemeinen geradenpunkt in deine koordinatengleichung ein und schaue, für welchen parameter er diese erfüllt
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

so das ist jetzt deine geradengleichung und nun machst du so wie LOED es dir gesagt hat,( in die ebenengleichung einsetzen, du bekommst 3 gleichungen und muß sehen für welches a die gleichungen lösbar sind





JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
du bekommst 3 gleichungen

ich sehe genau eine gleichung
berechne den allgemeinen (das heißt parameterabhängigen) x,y und z-wert eines geradenpunktes
setze diese 3 werte in die koordinatenform ein

mfg jochen
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ja !
stimmt ist ein bißchen blöd ausgedrückt von mir ich meinte mit den 3 gleichungen , wenn sie die geradengleichung aufsplittet in
x= ...
y= ..
z= ..
und es dann einsetzt!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

kann mir keiner für mich verständlich verraten, wie ich hier den Schnittpunkt berechne?




jetzt in E einseten:
17(0 + 3t) - 10(6 + 3t) + 4(-4 - t) = -25
daraus erhältst du den parameter t = 3, und diesen anschließend in die geradengleichung g eingesetzt, liefert den schnittpunkt S(9/15/-7)

(zumindest ich verstehe es)
werner
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