Erwartungswert von bedingter W-keit mit Summe

02.08.2005, 20:03	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert von bedingter W-keit mit Summe Hallo zusammen, ich muss folgende Formel berechnen, habe aber keine Ahnung wie und bräuchte daher dringend ein paar Tipps: $\begin{eqnarray} E(Xi')= \sum_{i=1}^\infty ~P(N = i)E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^N~Xi'\mid N= 1) \end{eqnarray}$ Xi' ist mit W-keit 1-p gleich 0 und mit W-keit p gleich Xi Xi sind i.i.d $\begin{eqnarray} N(\sigma,\mu^{2}) \end{eqnarray}$ n ist die Anzahl an Xi und N die Anzahl an Xi', so dass n Xi' ungleich 0 sind. Danke schön schonmal. Liebe Grüße forkatrinchen Sorry, meinte E( $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^N~Xi' \end{eqnarray}$ )=... edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
02.08.2005, 22:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel strotzt nur so vor Fehlern - und damit meine ich nicht die LaTeX-Unsauberkeiten. (Hast du die von einer hastig gekrakelten Vorlesungsmitschrift übertragen?) Na egal, sie lautet sicher so: $\begin{eqnarray} E\left(\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n~X_k' \right) = \sum\limits_{i=1}^\infty ~ P(N = i)\cdot E\left( \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n~X_k' \biggm\| N=i \right) \end{eqnarray}$ Die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^\infty \end{eqnarray}$ kann man ruhig auch als $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \end{eqnarray}$ schreiben, denn größere Werte als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kann $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ nicht annehmen. Der nächste Schritt zur Berechnung der rechten Seite ist jedenfalls $\begin{eqnarray} E\left( \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n~X_k' \biggm\| N=i \right) = E\left( \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^i~X_k \right) = \frac{i}{n} E\left( X_1 \right) \end{eqnarray}$ , denn die Bedingung $\begin{eqnarray} N=i \end{eqnarray}$ besagt ja, dass nur $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Werte $\begin{eqnarray} X_k' \end{eqnarray}$ den ursprünglichen $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ entsprechen, und die restlichen $\begin{eqnarray} n-i \end{eqnarray}$ gleich Null sind. Also kann man die Summe reduzieren. Dass man dann einfach exemplarisch die von 1 ... i für die Erwartungswertberechnung nehmen kann, klappt nur, weil alle $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ identisch verteilt sind. Und du solltest dir überlegen, welche bekannte Verteilung dieses $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ hat - dann weißt du auch, was für $\begin{eqnarray} P(N=i) \end{eqnarray}$ einzusetzen ist.
03.08.2005, 23:24	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön!!!

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