Von unbedingter Verteilung zu bedingter Verteilung

03.08.2005, 11:46

Marco G.

Von unbedingter Verteilung zu bedingter Verteilung

Hallo Zusammen!

Z.Zt. schreibe ich an einer Seminararbeit. Der Abgabetermin rückt näher. Es handelt sich eigentlich um ein volkswirtschaftliches Thema. Aber wie so oft, wird zur Modelldarstellung u.a. auch die Statistik bemüht. Habe dieses Problem bereits mit zig Leuten besprochen und in der entsprechenden Literatur gesucht. Leider ohne Erfolg. Das Problem stellt sich wie folgt dar:
Folgende Gleichung ist gegeben:

y = s - m

Die Individuen in einer Modellwelt können nur die Aktion y beobachten. Die genaue Ausprägung von s und m ist nicht bekannt. Ziel sei es aber eben jene Größe von s zu bestimmen.
Die Individuen kennen die unbedingte Verteilung (unconditional distribution) zweier Zufallsvariablen s und m, die normalverteilt sind:

s ~ n(s, b²) und m ~ n(0, c²) (Erwartungswert, Varianz).

Jetzt können die Individuen durch Beobachten der Aktion y die bedingte Verteilung von s und m in Abhängigkeit von y berechnen. Das soll dann so aussehen:

s ~ n (ay, (1-a)s, ac²) mit a= b²/(b² + c²).

Um diese Herleitung geht es jetzt. Wie macht man das? Bin für jeden Hinweis dankbar. Irgendeine Quelle, irgendwas was zitierfähig ist. Den genauen Beweis muss ich nicht erbringen. Man muss es halt nachlesen können. Mehr Informationen liegen mir zu dem Problem auch nicht vor. Habe hier alles aus der englischen Quelle des Autors benannt.

Wer kann helfen?

Ich sage schon jetzt: Dankeschön!

Grüße aus Bielefeld sendet

Marco

03.08.2005, 14:56

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Marco G.
s ~ n(s, b²)

Da beißt sich die Katze in den Schwanz, nicht wahr? Schreiben wir's mal so auf:

$\begin{eqnarray*} S\sim \mathcal{N}(\mu,b^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\sim \mathcal{N}(0,c^2) \end{eqnarray*}$

Damit man überhaupt was mit erträglichen Aufwand rechnen kann, nehmen wir an, dass der Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} (S,M)^T \end{eqnarray*}$ einer zweidimensionalen Normalverteilung unterliegt, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} S\\ M\end{pmatrix} \sim \mathcal{N}\left( \begin{pmatrix} \mu\\ 0\end{pmatrix}, \Sigma\right) \end{eqnarray*}$ mit Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} b^2 & \varrho bc\\ \varrho bc & c^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der einzige aller Parameter, den wir nicht kennen, ist der Korrelationskoeffizient $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ beider Komponenten. Dein beabsichtigtes Ergebnis legt nahe, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unabhängig sind und daher $\begin{eqnarray*} \varrho=0 \end{eqnarray*}$ ist. Ist das so?

Zitat:

Original von Marco G.
s ~ n (ay, (1-a)s, ac²)

Das ist unverständlich: Was soll das sein, eine Normalverteilung mit drei statt zwei Parametern?

EDIT: Jetzt, wo ich's (unter Annahme der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ) durchgerechnet habe, meinst du wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} \left(S \Bigm| S-M=y\right) \sim \mathcal{N}\left( ay+(1-a)\mu,ac^2 \right) \end{eqnarray*}$ .

also "+" statt "," .

03.08.2005, 15:24

Marco G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Kurz dazu:

s ~ n(s, b²). Der Autor hat das in der Tat so geschrieben. Einzige Abweichung: Über dem Erwartungswert s befindet sich ein Querstrich, d.h. der Erwartungswert ist konstant. Statt b hat er das übliche Sigma gewählt.

m und s sind stochastisch unabhängig. Korrekt.

Was ich in der letzten Gleichung als "a" bezeichnet habe, beschreibt der Autor mit Theta. Ist unerheblich, nur der Vollständigkeit halber.
Korrekt muss es so aussehen:
s ~ n (ay + (1-a)s, ac²) mit a= b²/(b² + c²),

d.h. der Erwartungswert ist die Summe der gewichteten Zufallsvariablen. Hab mich vertippt. Blöd. Ansonsten ist es eine Normalverteilung.

Vielen Dank!!

Marco

Hab schon einmal geschrieben, hab dann dein Edit gelesen.

Passt, haut hin, sieht genau so aus.

Wie macht man das, wie geht das? Oder: Wie heißt das? Wo kann man das nachlesen? Quelle?

Unglaublich. Hab schon gedacht, ich muss meinem Betreuer gegenüber eingestehen nix gefunden zu haben.

Kein Blödsinn: Habe bisher zwei Diplom-Mathematiker, einen Diplomvolkswirt und einen Dipl.Ing. gefragt. Keiner wusste was. Nur so am Rande.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

03.08.2005, 15:58

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo du die Rechnung für dein konkretes Problem nachlesen kannst, weiß ich nicht. Ich kann dir höchstens ein paar Stichworte sagen, und wie man das ganze rechnet:

Zitat:

Lineare Transformation normalverteilter Zufallsvektoren:
Ist $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma) \end{eqnarray*}$ ein normalverteilter Zufallsvektor, wobei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ der Mittelwertvektor und $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ die Kovarianzmatrix ist, dann ist mit einer regulären Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch der Vektor $\begin{eqnarray*} Y=AX \end{eqnarray*}$ normalverteilt, genauer: Es gilt dann $\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}(A\mu,A\Sigma A^T) \end{eqnarray*}$ .

Hier nun bei uns können wir das auf $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} s\\ m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ anwenden, dort ist dann $\begin{eqnarray*} \mu=\begin{pmatrix} \mu_s\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} b^2 & 0\\ 0 & c^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Als Transformationsmatris nimmt man jetzt $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , um von $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} s\\ m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} Y=\begin{pmatrix} s\\ s-m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu gelangen.

Anschließend kann man folgendes anwenden:

Zitat:

Bedingte Verteilung einer Komponente eines zweidimensionalen normalverteilten Vektors in Abhängigkeit von der anderen Komponente:
Ist $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} X_1\\ X_2\end{pmatrix} \sim \mathcal{N}\left( \begin{pmatrix} \mu_1\\ \mu_2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \varrho\sigma_1\sigma_2\\ \varrho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2\end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ , so lautet die bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} X_2=x_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left[X_1 \bigg| X_2=x_2\right] \sim \mathcal{N}\left( \mu_1+\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\varrho(x_2-\mu_2),\sigma_1^2(1-\varrho^2)\right) \end{eqnarray*}$ .

Ausrechnen kann man das durch

$\begin{eqnarray*} f_{X_1|X_2}(x_1,x_2) := \frac{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{f_{X_2}(x_2)} = \frac{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}~f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)~\mathrm{d}x_1} \end{eqnarray*}$

mittels der zweidimensionalen Normalverteilungsdichte

$\begin{eqnarray*} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\varrho^2}} \cdot \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\varrho^2)} \left[ \frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}-2\varrho\frac{(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} \right] \right\} \end{eqnarray*}$

aber wie unschwer vorstellbar ist das eine elende Arbeit. Eine Referenzquelle für diese Rechnung im WWW fällt mir da jetzt auch nicht ein.

Und das ganze wenden wir jetzt an, um die bedingte Verteilung der ersten Komponente unseres Vektors $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ (das ist ja gerade $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ) unter der Bedingung, dass die zweite Komponente einen bestimmten Wert hat (das ist der Wert $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ für die Komponente $\begin{eqnarray*} s-m \end{eqnarray*}$ ) zu berechnen.

EDIT: Ein paar (sicher nicht alle) Schreibfehler beseitigt.

03.08.2005, 16:23

Marco G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mir sehr, sehr weitergeholfen!!

Vielen Dank dafür. Werde mich dafür wahrscheinlich nicht revanchieren können. Zumindest nicht im statistischen Bereich...

Nochmals besten Dank und alles Gute,

viele Grüße,

Marco

Neue Frage »

Antworten »

Von unbedingter Verteilung zu bedingter Verteilung

Verwandte Themen