Schwierige Termumformung

07.02.2008, 18:31

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Schwierige Termumformung

Hallo,
aus dem Physikunterricht haben wir eine sehr schwierige Aufgabe bekommen, bei der es um die Berechnung einer bestimmten Strecke geht, jedoch hat diese Aufgabe nichts mit Physik zu tun, das Problem ist hier mathematisch.
Es ist ein sogenanntes "Physiker-Rennen". Das Menschlein (Caroline) rennt mit konstanten Geschwindigkeiten bestimmte Streckenabschnitte. Man soll nun die Zeit berechnen, dafür braucht man eine Länge. Nur wie berechnet man diese Länge? Es geht um die Strecke x.

http://img-up.net/img/UnbenanntH5CsYRY.jpg
Wir haben bereits eine Formel erstellt, die die Zeit angibt :
Da Zeit = Weg/Zeit ist ergibt sich für die Gesamtzeit die Summe beider Wegstrecken, da mit verschiedene Geschwindigkeiten gerannt wird. Mit Pythagoras kommt man insgesamt darauf:
$\begin{eqnarray*} t_C=\frac{\sqrt{s^2+x^2}}{v_s}+\frac{\sqrt{z^2+(a-x)^2}}{v_z} \end{eqnarray*}$
Also, Ich hätte gerne die Strecke x und alle bekannten Grössen stehen bereits an der Zeichnung... Wie komme Ich auf x?
Danke im Voraus
MFG
L

07.02.2008, 23:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine entscheidende Bedingung vergessen! Die Zeit $\begin{eqnarray*} t_C \end{eqnarray*}$ muss minimal werden!

Damit kann x berechnet werden. Denn die 1. Ableitung von $\begin{eqnarray*} t_C \end{eqnarray*}$ nach x ist Null zu setzen. Die entstehende Gleichung 4. Grades ist zugegebenermaßen nicht leicht zu lösen. Am besten numerisch, dabei erhalten wir als einzige reelle und sinnvolle Lösung x = 3.

Das Bild kann man als Brechung eines Lichtstrahles an der Trennlinie zwischen einem optisch dünneren Medium (in welchem die Geschwindigkeit höher ist) und einem optisch dichteren Medium (in welchem eine Verlangsamung zu beobachten ist) deuten. Das Licht hat das Bestreben, am schnellsten von Punkt S zum Punkt Z zu gelangen. Ansonsten gäbe es naturgemäß viele mögliche Lösungen für x.

Die Caroline ist also ein Lichtquant! $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ sind die Einfalls- bzw. Austrittswinkel "zum Lot". Der Lichtstrahl wählt den Weg, auf dem er in der kürzesten Zeit von S nach Z gelangt (Fermat-Prinzip). Das ist dann der Fall, wenn sich die Geschwindigkeiten in den Medien wie die Sinusfunktionen der Ein und Austrittswinkel verhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{v_s}{v_z} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \end{eqnarray*}$ .. Brechungsgesetz v. Snellius

mY+

09.02.2008, 15:08

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das haben wir im Unterricht bereits hergeleitet, dass es sich hierbei um das Brechungsgesetz handelt und auch die Formel.

Wieso kommt man auf eine Gleichung 4. Grades? Wenn man die Wurzeln wegquadriert ist der höchste Exponent doch 2?
Wenn es schwer zu lösen ist, dann nicht mit meinen mathematischen Mitteln? Würde mich echt interessieren, wie das denn dann ginge ^^
x = 3 ist selbstrverständlich richtig, unser Lehrer hat uns diesen Wert gegeben und man konnte ihn sich denken.
Aber da komme Ich auf ein logisches Problem:
Setzt man t(C)=0, so muss man eine Teilzeit subtrahieren. Aber wenn man den bereits errechneten X-Wert bei beiden einsetzt um t(C) nun auszurechnen, so stellt man fest, dass beide Zeiten exakt gleich gross sind! Wenn man aber eine subtrahiert, so müsste eine davon genau den negativen Wert ergeben...

09.02.2008, 22:00

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} t_C \end{eqnarray*}$ ist NICHT Null! Wie kommst du darauf? $\begin{eqnarray*} t_C \end{eqnarray*}$ soll minimal werden, daher wird die erste Ableitung nach x davon gebildet und diese Null gesetzt!

$\begin{eqnarray*} t_C = \frac{\sqrt{3 + x^2}}{3} + \frac{\sqrt{3 + (4 - x)^2}}{\sqrt3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_C' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3 \sqrt{3 + x^2}} = \frac{x - 4}{\sqrt3 \cdot \sqrt{19 - 8x + x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2(19 - 8x + x^2) = 3(3 + x^2)(x - 4)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

09.02.2008, 22:02

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Hupsala, da hab Ich wohl einen extremen Denkfehler gehabt ^^
Kann man diese Gleichung 4. Grades mithilfe von Polynomdivision lösen?

09.02.2008, 22:53

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine Lösung erraten hast ....
Danach entsteht eine Gleichung dritten Grades und du hast wiederum dasselbe Problem.
Dort kannst dann nix mehr raten, falls du zuerst durch (x - 3) dividiert hast.
Es kommt dann noch eine reelle Lösung (> 4 , für die Aufgabe unbrauchbar), die anderen zwei sind konj. komplex.

Übrigens, des Interesses halber, die Gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} x^4 - 8x^3 + 19x^2 - 36x + 72 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus müsste sich ja der Faktor (x - 3) herauskitzeln lassen.

mY+

Anzeige

09.02.2008, 22:59

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Darf Ich dann nicht einfach das Ergebnis, welches mit (x-3) multipliziertt werden müsste, mithilfe einer Polynomdivision lösen? Dann kann Ich ja wieder raten, weil ein einzelnes X vorkommt was bei der Division ja eine einzelne Zahl wird.

09.02.2008, 22:59

mathe760

Auf diesen Beitrag antworten »

@ L(Ryuzaki) : Könntest du mir vielleicht mal eíne kurze Herleitung vom Brechungsgesetz per pn schreiben?? wäre echt nett. Macht ihr denn schon soetwas in der 10 Klasse bei euch oder welche Klasse bist du??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

09.02.2008, 23:00

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin in der 12. ^^ Das Brechungsgesetz haben wir irgendwie just for fun mal hergeleitet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kriegst von mir die Herleitung, muss sie kurz abtippen.

09.02.2008, 23:02

mathe760

Auf diesen Beitrag antworten »

okj vielen dank hast du denn übersprungen?? bin 15 und erst in der 9. wurde aber auch erst mit 7 eingeschult^^

Bis denn mathe760 Wink

Wink

09.02.2008, 23:03

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L (Ryuzaki)
Darf Ich dann nicht einfach das Ergebnis, welches mit (x-3) multipliziertt werden müsste, mithilfe einer Polynomdivision lösen? Dann kann Ich ja wieder raten, weil ein einzelnes X vorkommt was bei der Division ja eine einzelne Zahl wird.

Ja, das darfst du! Ich frage mich nur, wie du die Polynomdivision mit den anderen Lösungen bewerkstelligen willst verwirrt

verwirrt

(x1 = 3)
x2 = 5.131857
x3 = -0.065928 - 2.161556 i
x4 = -0.065928 + 2.161556 i

mY+

Zum Brechungsgesetz:

http://de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz

09.02.2008, 23:21

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, Ok, Ich sehe die Nullstelle und merke sofort, dass das durch raten nicht leicht wird ^^ Wie kommst du denn auf diese Ergebnisse? Gibt's da spezielle Rechenverfahren für, vor allem brauch Ich ja die 2. reelle Nullstelle, eine quadratische Gleichung kann Ich lösen und auch mit i kann Ich was anfangen.

Also, die Herleitung sieht so aus:
Wir haben eine Formel für die Geschwindigkeit hergeleitet:
$\begin{eqnarray*} t_C=\frac{\sqrt{s^2+x^2}}{v_s}+\frac{\sqrt{z^2+(a-x)^2}}{v_z} \end{eqnarray*}$
Nun, im Unterricht haben wir ja dieses Rennen betrachtet und die kürzeste Zeit gesucht, aber physikalisch muss man mit dem Fermat'schen Prinzip argumentieren: Licht geht immer den Weg, für den es die kürzeste Zeit braucht.
Im Prinzip kommt es auf dasselbe hinaus: Man will die mathematische Minimalzeit.
Also leiten wir diesen Term ab un setzen ihn gleich 0.
$\begin{eqnarray*} t'_C=\frac{x}{v_s*\sqrt{x^2+s^2}}-\frac{a-x}{v_z*\sqrt{z^2+(a-x)^2}}=0 \end{eqnarray*}$
Schau in die Zeichnung, und du siehst:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+s^2}}=sin(\alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{a-x}{v_z*\sqrt{z^2+(a-x)^2}}=sin(\beta) \end{eqnarray*}$
Die restlichen Termumformungen erpare Ich mir einfach mal und heraus kommt das Brechungsgesetz:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}=\frac{v_s}{v_z} \end{eqnarray*}$

Du denkst mit^^
Bin mit 6 eingeschult, dann habe Ich die 1. Klasse übersprungen und später aufm Gymnasium die 6., jetzt bin Ich in der 12. Leistungskurse : Mathe + Physik smile

smile

3. + 4. Abiturfach = Erdkunde, Englisch
Mein Interesse liegt hauptsächlich in der (modernen) Physik, aber ohne Mathe geht Physik auch nicht, und Mathe ist auch interessant, von daher will Ich nicht das Ergebnis wissen, sondern verstehen, wie man dahinkommt und es können smile

smile

09.02.2008, 23:34

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Gleichungen 4. und 3. Grades gibt es - wenn auch sehr komplizierte - exakte Lösungsverfahren (Cardano). Diese brauchst du dir aber eigentlich nicht antun.

Die beiden reellen Nullstellen sind z.B. mit dem Newton'schen Näherungsverfahren oder der Regula Falsi zu berechnen (das kann man mit Excel sehr gut machen, das Sheet gibt's sogar hier im Board; suche nach Newton ..). Die komplexen Lösungen interessieren hier ja nicht. Ich habe sie mit DERIVE (das ist ein CAS = Comp. Algebr. SW) ermittelt.

mY+

10.02.2008, 00:32

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt interessiert mich mehr als Näherung, kann man dieses Verfahren mit Mathe-Verständnis bis zu 12er LK verstehen, wenn man sich damit beschäftigt?

10.02.2008, 02:05

bishop

Auf diesen Beitrag antworten »

hier und hier wirst du fündig, und wie mythos richtig sagte, wirst du wenig Spaß dran haben.
Was man in der Oberstufenphysik lernt, ist, dass Näherungen einfach das Mittel der wahl sind wenn möglich. Siehe hier, wenn ich mich selbst zitieren darf Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.02.2008, 09:15

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

oder gleich hier bei nullstellen von polynomen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »