untersuchen auf differenzierbarkeit

07.02.2008, 19:41

lala5

untersuchen auf differenzierbarkeit

hallo,

ich muss die funktion an der stelle 1 auf differenzierbarkeit untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f(x) =(x-1) \mid x-1 \mid \end{eqnarray*}$

ich habe mit der h-methode gearbeitet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{h \mid h \mid }{h} = \lim_{h \to 0} \mid h \mid \end{eqnarray*}$

eigentlich ist der grenzwert doch jetzt 0 .. aber damit wäre die funktion ja an der stelle differenzierbar, aber das ist sie doch nicht, oder? wie stelle ich das dar?

danke für antworten!

07.02.2008, 19:44

tmo

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RE: untersuchen auf differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lala5
aber das ist sie doch nicht, oder?

wie kommst du darauf?

der grenzwert des differenzenquotienten existiert --> Die funktion ist an dieser stelle differenzierbar.

07.02.2008, 19:50

lala5

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okey.. danke.. wie ist es in diesem fall?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\mid h \mid}{h} \end{eqnarray*}$

jetzt käme ja 0/0 heraus, was nicht bestimmt ist.. wie stelle ich das dann dar?

07.02.2008, 19:52

tmo

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hier musst du den línks- und rechtsseitigen grenzwert getrennt betrachten.

07.02.2008, 19:57

lala5

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ich habe irgendwie noch ein problem mit den betragszeichen.. tut mir leid, aber ich habe noch eine frage..

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\mid x \mid +1}}{x} \end{eqnarray*}$

wie gehe ich da vor? verwirrt

07.02.2008, 19:58

lala5

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und wie macht man das? verwirrt

07.02.2008, 19:58

tmo

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erstmal kürzen?

07.02.2008, 20:51

lala5

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ja okey, das wäre dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\mid x \mid +1} \end{eqnarray*}$

aber um nochmal auf die funktion oben zurückzukommen.. wie meinst du das mit rechtseitig und linksseitigem grenzwert bzw. wie wird das dargestellt?

07.02.2008, 20:52

tmo

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du betrachtest einmal h < 0 und einmal h > 0.

dann kannst du den betrag auflösen.

07.02.2008, 20:57

lala5

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okey.. wird also einmal positiv und einmal negativ, also ist es an der stelle nicht differenzierbar, aber wie schreib ich das hin?
und wie geht man bei der zweiten funktion vor.. kommt da dann 1 heraus?

08.02.2008, 08:25

klarsoweit

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Ehrlich gesagt sind die letzten Beiträge für mich etwas gehuddelt. Wenn ich das richtig sehe, geht es um die Differenzierbarkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{|x|+1} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x_0=0. Betrachten wir dazu den Limes des Differenzenquotienten, dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}~\frac{\frac{h}{|h|+1}}{h} = \lim_{h \to 0}~\frac{1}{|h|+1} \end{eqnarray*}$

Was man jetzt braucht, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~|h| \end{eqnarray*}$ . Da die Betragsfunktion stetig ist, braucht man gar nicht h < 0 oder h > 0 zu unterscheiden (oder sonstwie die Betragsfunktion auflösen), sondern man kann einfach h=0 einsetzen. Fertig. smile

08.02.2008, 13:27

tmo

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zur klarstellung:

Zitat:

Original von lala5
okey.. danke.. wie ist es in diesem fall?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\mid h \mid}{h} \end{eqnarray*}$

jetzt käme ja 0/0 heraus, was nicht bestimmt ist.. wie stelle ich das dann dar?

Zitat:

Original von tmo
du betrachtest einmal h < 0 und einmal h > 0.

dann kannst du den betrag auflösen.

darauf zielte mein beitrag ab.

es ist halt nicht gerade hilfreich, wenn der threadersteller schon das nächste problem in den selben thread posted, bevor das andere überhaupt gelöst ist.

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