Pareto-Verteilung, Erwartungswert

07.02.2008, 22:32

hum123

Pareto-Verteilung, Erwartungswert

Hallo, ich komme hier bei einer Aufgabe partout nicht weiter:
es soll der Erwartungswert der Pareto-Verteilung berechnet werden:

Die Verteilungsdichte ist gegeben, das Ergebnis ist auch klar (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Pareto-Prinzip)
aber ich bekomme die Rechnung nicht hin:

generell gilt ja:
$\begin{eqnarray*} EX=\int_{-unendl.}^{+unendl.}~x*f(x)~dx \end{eqnarray*}$

zunächst schreibe ich die Dichtefunktion so um, dass ich auf:

$\begin{eqnarray*} EX=\int_{-unendl.}^{+unendl}~x*k*x_{min}^k*x^{-k}~dx \end{eqnarray*}$
komme.

jetzt hab ich mir überlegt, dass die untere Integrationsgrenze lim gegen 0+ und die obere Integrationsgrenze unendlich sein müsste, ich komme aber dann auf:

$\begin{eqnarray*} EX=\int_{0+0}^{+unendl}~x*k*x_{min}^k*x^{-k}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} EX=\int_{0+0}^{+unendl}~\frac{k*x_{min}^k*x^{-k+1}}{{-k+1}}~\mid_{0+}^{+unendl.} \end{eqnarray*}$

und habe jetzt keine ahnung, wie ich damit auf das richtige Ergebnis kommen soll.
Danke für eure Hilfe

08.02.2008, 09:14

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Deine untere Integrationsgrenze ist falsch: Sie lautet nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x_{\min} \end{eqnarray*}$ .

08.02.2008, 15:44

hum123

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ahhhh, vielen dank, es funktioniert.
habe noch eine weitere Nachfrage:

wenn ich nun $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ berechnen möchte

an welcher Stelle der Rechnung muss ich dann das Quadrat einsetzen: in die Dichtefunktion?, sprich:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int_{x_{min}}^{+unendl.}~x*f(x^2)~dx \end{eqnarray*}$

und muss dann $\begin{eqnarray*} x_{min} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{min}^2 \end{eqnarray*}$
als untere Integrationsgrenze eingesetzt werden?
...habe schon wieder die ganzen Möglichkeiten durchgerechnet, komme aber nicht auf die korrekte Lösung:
$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\frac{k}{k-2}*x_{min}^2\ \end{eqnarray*}$

08.02.2008, 16:14

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Zitat:

Original von hum123
an welcher Stelle der Rechnung muss ich dann das Quadrat einsetzen: in die Dichtefunktion?, sprich:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int_{x_{min}}^{+unendl.}~x*f(x^2)~dx \end{eqnarray*}$

Nein - so:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int\limits_{x_{\min}}^{+\infty} ~ x^2 \cdot f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Das gilt für beliebige Funktionale $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , die du auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ loslässt:

$\begin{eqnarray*} E(h(X))=\int\limits_{x_{\min}}^{+\infty} ~ h(x) \cdot f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

08.02.2008, 16:26

hum123

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es funktioniert! vielen dank.

das wäre das letzte, auf das ich gekommen wäre.
schon irgendwie komisch, aber es klappt.

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