Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren

08.02.2008, 10:22

Ausn

Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren

Hallo,

melde mich grad etwas verzweifelt aus der Bibliothek smile

.
2 Fragen habe ich,

1)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\sqrt{3}-i|^2}=\frac{1}{3+1} \end{eqnarray*}$

Kann man das wirklich einfach so quadrieren und dadurch dann den Betrag wegfallen lassen?

2)

Ist es zauberrei?
Ich kann mir nicht erklären wie aus $\begin{eqnarray*} |1+i|-1=\sqrt2-1 \end{eqnarray*}$ werden kann?

Ich hoffe wirklich auf eure Hilfe!

Lg Ausn

08.02.2008, 10:25

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RE: Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren
Zu 1):

Sei $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2 + (\operatorname{Im}z)^2} \end{eqnarray*}$

und folglich

$\begin{eqnarray*} |z|^2=(\operatorname{Re}z)^2 + (\operatorname{Im}z)^2. \end{eqnarray*}$

Zu 2):

$\begin{eqnarray*} |1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}. \end{eqnarray*}$

Was soll uns das angehängte Bild sagen?

08.02.2008, 10:37

Ausn

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RE: Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren
Mh, dämlich.. klar... hätt ich auch wissen müssen..
Das Bild bezieht sich auf 2)
Da hab ich auch noch ne Frage

Zitat:

Zu 2):

$\begin{eqnarray*} |1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}. \end{eqnarray*}$

Du wendest quasi das an was du in 1) erklärt hast (richtig?)
Mein Problem ist, dass ich gerade nicht sehe warum unter der Wurzel 1+1 steht.
Du quadrierst doch erst den Im-"Teil", müsste es dann nicht -1 sein?

Lg Ausn

08.02.2008, 10:40

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RE: Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren
Sei $\begin{eqnarray*} z=1+i \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}z=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}z=1 \end{eqnarray*}$ .

08.02.2008, 10:42

Ausn

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RE: Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren
Achsoooo die 1 ist die 1 vor dem i. Hammer

Vielen Dank!!! smile

08.02.2008, 10:51

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RE: Komplexe Zahlen der Betrag und quadrieren
You are Willkommen

.

PS. Mal noch eine Frage: Wie genau lautet denn das z aus Aufgabe 2? Bei deiner Rechnung scheint was nicht zu stimmen.

08.02.2008, 12:14

Ausn

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Hm steht nur $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ und z sollte doch x+yi sein..(?)

Ich haber wieder 'n neues Brett vorm Kopp. (Ja heute finde ich viel Holz)

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{4}+2x+y^2\leq2 <=> \frac {1}{8}(x-4)^2+\frac{y^2}{2}\geq1 \end{eqnarray*}$

da auch skizziert werden soll sieht das ansich nach einer schönen Hyperbel aus..
Mit sicherheit wurde auch 'Quadratischergänzt' doch auch mehrmaliges probieren haben mir noch nicht den Schritt erklären können... kann mir vielleicht jemand bei dem Zwischenschritt helfen?

Lg Ausn

08.02.2008, 12:36

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Zitat:

Original von Ausn
Hm steht nur $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ und z sollte doch x+yi sein..(?)

Dann stimmt deine Rechnung oben nicht, denn

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(z(z+4))+(\operatorname{Im}z)^2=x^2+4x+2y^2. \end{eqnarray*}$

08.02.2008, 12:52

Ausn

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Mhm müsste meiner Meinung nach aber stimmen:

$\begin{eqnarray*} Re(z^2+4z)+(Im x+iy)^2 = x^2+y^2+4x-y^2=x^2+4x \end{eqnarray*}$

-> Jemand ne Idee bei meiner zweiten Frage?

08.02.2008, 12:58

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$\begin{eqnarray*} (\operatorname{Im}z)^2=y^2 \end{eqnarray*}$

08.02.2008, 13:04

Ausn

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$\begin{eqnarray*} Re(z^2+4z)+(Im x+iy)^2 = x^2-y^2+4x+y^2=x^2+4x \end{eqnarray*}$

Ja ist richtig, hatte mich verschrieben das -y^2 kommt aus dem Re-Teil.

Da

$\begin{eqnarray*} Re(z(z+4)=x^2+2xiy-y^2+4x+4yi \end{eqnarray*}$

Lg Ausn

08.02.2008, 13:07

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Im Realteil darf doch kein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mehr auftauchen! unglücklich

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(z(z+4))=\operatorname{Re}(z^2+4z)=x^2+y^2+4x. \end{eqnarray*}$

Edit: Rechnung ist falsch ... siehe weiter unten.

08.02.2008, 13:14

Ausn

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Aber man multipliziert doch erst aus bevor man den Realteil nimmt oder?

Würde doch bedeuten das aus

$\begin{eqnarray*} Re(z(z+4)) = Re (z^2+4z) \end{eqnarray*}$ wird.
Durch das z^2 fällt das i weg. Da $\begin{eqnarray*} z^2=x^2+2xyi+y^2*(-1) \end{eqnarray*}$

oder nüscht? verwirrt