Potenzreihenentwicklung

08.02.2008, 16:23

hxh

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Potenzreihenentwicklung

Ich soll die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x²-4x} \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} =2 \end{eqnarray*}$ entwickeln.

Irgendwie ging das mit geometrischer Reihe hier, aber ich weiß nicht was ich genau machen soll. Kann mir das jemand kurz erklären ?

08.02.2008, 16:27

Tomtomtomtom

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Ist der Punkt x_0 gegeben oder soll das allgemein passieren?

Edit: ah, du hast es schon editiert ^^

Also was immer geht: Benutze den Satz von Taylor, d.h. finde einen allgemeinen Ausdruck für die n-te Ableitung an der Stelle x_0, und schreibe die Taylor-Formel auf

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

hier geht es aber vermutlich einfacher. Was man auf jeden Fall schon mal sieht ist, daß der Entwicklungspunkt genau in der Mitte von den zwei Nullstellen des Nenners liegt, d.h. die entstehende Potenzreihe hat wohl Konvergenzradius 2.

08.02.2008, 16:43

hxh

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Ok das mit dem ableiten und der Taylorreihe dachte ich mir schon, es steht halt als hinweis , dass man die geometrische Reihe verwenden kann.
Is halt etwas nervig das paar mal abzuleiten , da man die n-te ableitung auch mit Induktion beweisen sollte.

08.02.2008, 16:49

Tomtomtomtom

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Als Tipp: x²-4x+4 hätte genau eine doppelte Nullstelle bei x_0=2, und das passt ganz gut, schließlich muß man ja irgendwie Potenzen von (x-2) ins Spiel bringen.

08.02.2008, 18:34

hxh

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meinste so

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²-4x+4-4} = \frac{1}{(x-2)²-4} = - \frac{1}{4-(x-2)²} \end{eqnarray*}$

jetzt könnte man doch geometrische reihe verwenden??

08.02.2008, 18:37

Leopold

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Das ist die richtige Idee:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4 - (x-2)^2} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \left( \frac{x-2}{2} \right)^2} \end{eqnarray*}$

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08.02.2008, 18:40

hxh

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wäre die potenzreihe dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ -\frac{1}{4} q^{n} \end{eqnarray*}$ mit q= ((x-2)/2)² ??

08.02.2008, 18:42

Leopold

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Im Prinzip ja. Jetzt noch auf die Form $\begin{eqnarray*} a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ bringen. Und natürlich muß es in der Summe oben $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ heißen.

08.02.2008, 18:48

hxh

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mh ist a_n dann -1/4 und für x_0 den Entwicklungspunkt einsetzen . Prinzipiell hier (q-x_0)^n ? irgendwie ist mir das nicht klar

08.02.2008, 18:52

Leopold

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Du hast es doch schon!

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{(x-2)^2}{4} \right)^n = - \frac{1}{4 \cdot 4^n} \cdot (x-2)^{2n} = - \frac{1}{4^{n+1}} \cdot (x-2)^{2n} \end{eqnarray*}$

Und da gehört natürlich noch das Summenzeichen davor.

08.02.2008, 18:57

hxh

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ok das kann ich nachvollziehn

um nun den Konvergenzradius zu berechnen müsste ich dann aber (x-2)² substituieren oder?

08.02.2008, 19:00

Leopold

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Das, was du für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ in der geometrischen Reihe eingesetzt hast, mußt du auch in der Konvergenzbedingung für die geometrische Reihe substituieren. Dann steht alles da.

08.02.2008, 19:25

hxh

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ah stimmt ^^ R = 1 / lim sup blabla = 1/ wurzel 1/4 = 1 / 1/2 = 2

danke hat mir sehr weitergeholfen

08.02.2008, 19:31

system-agent

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Zitat:

Original von hxh
ah stimmt ^^ R = 1 / lim sup blabla = 1/ wurzel 1/4 = 1 / 1/2 = 2

Nein,
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}} \end{eqnarray*}$

08.02.2008, 19:35

hxh

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ahhh kte wurzel Forum Kloppe

Forum Kloppe

kommt dann 1 als radius raus ?

08.02.2008, 19:35

Leopold

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Ich hätte es so gemacht: Die geometrische Reihe konvergiert für $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} q = \left(\frac{x-2}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \left| \left(\frac{x-2}{2} \right)^2 \right| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \frac{x-2}{2} \right|^2 < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \frac{x-2}{2} \right| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |x-2| < 2 \end{eqnarray*}$

Also ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$ .

08.02.2008, 19:47

system-agent

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Irgendwie sagt Hadamard $\begin{eqnarray*} R=4 \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

verwirrt

Edit:
Nein sagt er doch nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

, beachte die $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ im Exponenten...

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