Satz von Moivre

08.02.2008, 18:26

silviaaa

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Satz von Moivre

habe hier iene aufgabe z²=2i und die farge bestimmen sie die beiden lösungen der gleichung...

so hab versuch den satz von moivre darauf anzuwenden hab r berechnet mit den phi*s tu ich mich schwer und dannach beim einsetzten in die formel kann mir jmd bitte helfen
danke

Edit mY+: KEINE Hilfeschreie im Titel!!!

08.02.2008, 18:32

aRo

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hallo!

Wie du den Winkel bestimmt, steht zB hier beschrieben:
[WS] Komplexe Zahlen

achte vor allem auf den Post von Arthur Dent. Kannst du damit schon etwas anfangen?

08.02.2008, 18:34

Leopold

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Nicht rechnen! Hinschauen! Du kannst Betrag und Winkel von $\begin{eqnarray*} 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ablesen. Und beim komplexen Wurzelziehen werden die Winkel halbiert und aus dem Betrag wird die Wurzel gezogen. Wo landest du da?

08.02.2008, 18:38

silviaaa

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ja ich hab dann als winkel 45 grad raus....
aber was mach ich dann???

08.02.2008, 18:38

Leopold

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Und der Betrag der Wurzel?

08.02.2008, 18:41

silviaaa

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wurzel aus 2... oder???
und ich weiss ja das es zwei lösungen gibt k=o und k=1 oder?

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08.02.2008, 18:46

Leopold

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Dann zeichne einmal die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ so ein, daß der Strahl von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ mit der positiven reellen Achse einen Winkel von 45° einschließt und trage auf dem Strahl die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ab. Was hat der Punkt für kartesische Koordinaten?

08.02.2008, 18:50

silviaaa

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ja das seh ich ja eben nicht?! der reelle teil ist eins und der imaginär teil keine ahnung?

08.02.2008, 18:53

Leopold

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Wie lang ist denn die Diagonale in einem Einheitsquadrat?

08.02.2008, 18:56

silviaaa

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eins keine ahnung! ich krieg hier zustände wiel ich versuche diese verdammte aufgabe seit 3 stunden zu lösen und krieg es einfach nicht gebacken AHHHHHHH!!!!!

08.02.2008, 19:02

Leopold

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Zeichne das Quadrat mit den Ecken $\begin{eqnarray*} 0,1,1+\operatorname{i},\operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Wie lang ist denn die Diagonale? Und unter welchem Winkel steht sie zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse?

08.02.2008, 19:07

silviaaa

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45 grad winkel Augenzwinkern

Augenzwinkern

also hab ich eine lösung mit z=1+i und die andere?

08.02.2008, 19:18

Leopold

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Genau. Zur Übung würde ich dir die Probe raten. Quadriere $\begin{eqnarray*} 1 + \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Was erhältst du?

Und die zweite Lösung bekommst du wie im Reellen durch Vorzeichenänderung:

$\begin{eqnarray*} z_2 = -z_1 \end{eqnarray*}$

Das gilt natürlich nur für Quadratwurzeln.

Und die formale Lösung geht so:

$\begin{eqnarray*} z^2 = 2 \operatorname{i} = 2 \operatorname{e}^{\operatorname{i \frac{\pi}{2}}} \end{eqnarray*}$

Der Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} = 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ wurde aus der Zeichnung abgelesen. Und jetzt aus dem Betrag die Wurzel ziehen und den Winkel halbieren. Und $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ nicht vergessen:

$\begin{eqnarray*} z = \pm \sqrt{2} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

Und weil $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} + \operatorname{i} \, \sin \frac{\pi}{4} = \sqrt{\frac{1}{2}} + \operatorname{i} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} z = \pm \sqrt{2} \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{2}} + \operatorname{i} \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$

Aber du siehst, durch geometrische Anschauung geht es fast ohne Rechnung.

08.02.2008, 19:31

silviaaa

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ja ich habs jetzt verstanden super dankeschön... noch eine kleine frage woher wusstes du jetzt das pi/4 = wurzel 1/2 sind?

08.02.2008, 19:39

Leopold

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Der SINUS VON pi/4 ist Wurzel von 1/2. Als gebildeter Mathematiker weiß man so etwas.

08.02.2008, 19:44

silviaaa

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wenn du lust hast könntest du mir ja bei noch einer aufgabe helfen smile

smile

aber nur wenn du magst... ich verzweifel echt an dieser mathematik unglücklich

unglücklich

die andere aufgabe wäre: z³=-8

08.02.2008, 19:45

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Der SINUS VON pi/4 ist Wurzel von 1/2. Als gebildeter Mathematiker weiß man so etwas.

ich weiß es aber auch, ein Pensionist unglücklich

unglücklich

08.02.2008, 19:48

Leopold

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von Leopold
Der SINUS VON pi/4 ist Wurzel von 1/2. Als gebildeter Mathematiker weiß man so etwas.

ich weiß es aber auch, ein Pensionist unglücklich

unglücklich

Fishing for compliments, du alter Schelm?

08.02.2008, 19:51

silviaaa

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also will mir keiner mehr helfen ja?

ja sorry ich weiss es eben nicht und jetzt :P

08.02.2008, 19:57

Leopold

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Zitat:

Original von silviaaa
wenn du lust hast könntest du mir ja bei noch einer aufgabe helfen smile

smile

aber nur wenn du magst... ich verzweifel echt an dieser mathematik unglücklich

unglücklich

die andere aufgabe wäre: z³=-8

Nun - eine Lösung (die reelle) kann man doch erraten! Oder?

Um alle Lösungen zu bekommen, stelle erst $\begin{eqnarray*} -8 \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i} \operatorname \varphi} \end{eqnarray*}$ dar.

$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist der Abstand von $\begin{eqnarray*} -8 \end{eqnarray*}$ zum Ursprung. Und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ findest du, indem du den Strahl vom Ursprung durch $\begin{eqnarray*} -8 \end{eqnarray*}$ einzeichnest und dir überlegst, welchen Winkel dieser Strahl zur positiven $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse einnimmt.

Und dann geht es so weiter: Aus dem Betrag $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die reelle dritte Wurzel ziehen. Den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ dritteln. Und so bekommst du eine Lösung $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ . Die beiden anderen Lösungen bekommst du, indem du zum gedrittelten Winkel noch Vielfache des gedrittelten Vollwinkels, also $\begin{eqnarray*} \frac{2 \pi}{3} = 120^{\circ} \end{eqnarray*}$ dazuzählst. (Und dann kannst du ja wieder in der Wikipedia-Tabelle nach den Sinus- und Cosinus-Werten Ausschau halten.)

Ein ganz anderer Lösungsweg geht über die Faktorisierung des Polynoms $\begin{eqnarray*} z^3+8 \end{eqnarray*}$ .

08.02.2008, 20:02

silviaaa

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ok so weit hab ich FAST alles verstanden nur eine frage ich krieg das mit den winkeln nie gebacken unglücklich

unglücklich

ich weiss ich nerv dich bestimmt schon unglücklich

unglücklich

kannst du mir trotzdem da noch mla helfen

08.02.2008, 20:03

Leopold

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Und was willst du wissen?

08.02.2008, 20:05

silviaaa

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wie ich den winkel phi da raus kriege? bei dem anderen war ja i angegeben das ist hier ja nicht der fall und wo -8 auf dem einheitskreis ist i dont know?? kmääää

08.02.2008, 20:10

Leopold

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Du zeichnest ganz einfach $\begin{eqnarray*} -8 \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse ein. Und dann nimmst du die positive reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse in die Hand und drehst sie gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung, bis sie durch $\begin{eqnarray*} -8 \end{eqnarray*}$ hindurch geht. Welchen Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ hast du bis dahin zurückgelegt?

08.02.2008, 20:16

silviaaa

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180 grad winkel oder smile

smile

du bist gut haha

08.02.2008, 20:22

Leopold

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Sagen wir besser, weil professioneller: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt den Winkel dritteln und aus dem Betrag (wie groß ist der?) die dritte Wurzel ziehen. Alles weitere habe ich im vorigen Beitrag schon gesagt.

Welche Lösungen bekommst du?

08.02.2008, 20:31

silviaaa

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ok bei z1 hab ich 1* wurzel3 i raus

bei z2 komm ich wieder nicht weiter weil der winkel 120 nicht in der liste steht und eigentlich ist der winkel ja nix anderes als 2x 60grad oder?

08.02.2008, 20:33

silviaaa

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korrigiere: z1= 1+ wurzel3 i

08.02.2008, 20:37

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ hast du doch $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ als Winkel. Du sollst nun nicht vom Anfang aus $\begin{eqnarray*} 120^{\circ} \end{eqnarray*}$ abtragen, sondern von diesen $\begin{eqnarray*} 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ aus. Wo landest du dann?

Und dann noch einmal $\begin{eqnarray*} 120^{\circ} \end{eqnarray*}$ weiter abtragen. Wo landest du jetzt? Am besten gar nicht mehr in der Tabelle nachschauen, sondern dir das geometrisch klarmachen.

08.02.2008, 20:41

silviaaa

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ah och eine verständnis frage unglücklich

unglücklich

ich hab ja jetzt den 60grad winkel berechnet wenn ich jetzt den 120 grad winkel berechne bleibt der cosinus trotzdem der von 60 grad und der zweite wird nur verändert auf sin 120 oder änder ich beide zu cos/sin 120?

08.02.2008, 20:43

silviaaa

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asooooooo meintest du das... dann bin ich einemal bei 60 einmal bei 180 und dann bei 360 smile

smile

ich danke dir echt das du dir hier die zeit genommen hats mir zu helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.02.2008, 20:54

silviaaa

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der dritte winckel wäre ja dann bei dreihunder und das ist ja das gleiche wie bei 60 nur mit anderem vorzeichen also konjugierte komplexe zahl heisst die doch oder?

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