Ableitung einer Funktion

03.08.2005, 22:26

Ledro

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Ableitung einer Funktion

hallo,
die ableitung folgender funktion soll bestimmt werden:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sqrt[3]{x^4+1}} \end{eqnarray*}$

mit welcher ableitungsregel beginne ich da am besten bzw. gibt es nur eine oder mehrere?
ich würde sagen, man sollte nur die kettenregel benutzen. wäre das richtig? und wie macht man da am besten den anfang?
danke euch für jeden tipp!
ciao ledro

03.08.2005, 22:29

Mathespezialschüler

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Das ist keine Funktion, sondern ein Term! Schreibe noch ein f(x) davor, dann wird es eine Funktion!
Ja, da musst du die Kettenregel bemühen, und zwar mehrmals! Vll hilft ja

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^4+1}}=\left((x^4+1)^{\frac{1}{3}}+1\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

03.08.2005, 22:41

Ledro

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danke Dir!
aber ich verstehe es leider npch nicht so ganz...:-(
1) was ist VII?
2) wie kommst Du auf Dein ergebnis???
also, für die kettenregel gilt doch: (g(h(x)))´=g´(h(x)) * h´(x)
und das ganze noch mehrmals? wie sieht denn der 1. und der 2. schritt aus?
danke Dir!!!

03.08.2005, 22:47

Mathespezialschüler

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Vll=vielleicht. Das ist kein Ergebnis, das ist nur ein Umschreiben! Ich habe noch nicht abgeleitet. Das, was ich aufgeschrieben hab, ist nur die Definition der Potenz mit rationalem Exponenten. Du machst folgendes:

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^4+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=g(h(u(x))) \end{eqnarray*}$ und jetzt leite das mal ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

03.08.2005, 23:06

Ledro

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ok, kapiert soweit!
hmmmm, also

wäre das dann:
g´(h(u(x)))* h´(u(x)) + h´(u(x)* u´(x)

oder statt dem + ein *?
danke, ciao Ledro

03.08.2005, 23:07

JochenX

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ja statt dem + ein mal

regel ist dann: "innerste ableitung * zweitinnerste ableitung * .... *äußerste ableitung"
das gilt für beliebig viele verkettungen, wie recht leicht mit induktion gezeigt werden kann

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03.08.2005, 23:12

Ledro

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ok, alles klar, dann werde ich es morgen früh mal ausprobieren.
ich bin mal gespannt, ob ich es hinbekomme. ansonsten... :-)

danke Dir! ciao Ledro

03.08.2005, 23:20

Mathespezialschüler

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Naja, nicht nur das plus muss weg. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \Big(g(h(u(x)))\Big)'=g'(h(u(x)))\cdot h'(u(x))\cdot u'(x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

03.08.2005, 23:27

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Schreibe noch ein f(x) davor, dann wird es eine Funktion!

Wirklich?
Und ich dachte, daß der Term jetzt nur den Namen f(x) bekommt.

03.08.2005, 23:38

sqrt(2)

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Popcorn!

fröhlich

03.08.2005, 23:41

Mathespezialschüler

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Ich muss ehrlich mal sagen: Genau das hasse ich an dir Leopold. Ich weiß nie, wie du "es" meinst. Aber andererseits ist es auch genau das, was ich an dir mag. Das macht dich halt aus. Big Laugh

Big Laugh

Gruß Max

03.08.2005, 23:56

Trazom

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Kann man Terme etwa nicht ableiten?

03.08.2005, 23:57

Mathespezialschüler

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Wie definierst du denn die Ableitung von einem Term? Big Laugh

Big Laugh

Gruß MSS

04.08.2005, 08:32

PK

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Popcorn! fröhlich

fröhlich

Big Laugh

Big Laugh

Ahlso, bestimmen wir mal den Differenzenquotienten des Terms an der Stelle $\begin{eqnarray*} Term_0 \end{eqnarray*}$

04.08.2005, 09:05

Trazom

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wie definierst du denn die Ableitung von einem Term? Big Laugh

Big Laugh

Gruß MSS

[ ] Du hast die Aussage des Beitrags verstanden.

Nochmal: Lasst doch dieses blöde HickHack. Jeder weiß, was der Threadersteller meinte. Verbesserungen sind nur dann gut und richtig, wenn sie auch was bringen und nicht einen auf Korinthenkackertum machen.

04.08.2005, 11:08

Ledro

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...zurück zu meinem problem...
kann denn für
$\begin{eqnarray*} \Big(g(h(u(x)))\Big)'=g'(h(u(x)))\cdot h'(u(x))\cdot u'(x) \end{eqnarray*}$
folgendes richtig sein?
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt[3]{x^4 +1}}} * \frac{1}{3\sqrt{x^4+1}} * 4x^3 \end{eqnarray*}$
irgendwie sieht das so aus, als ob noch was fehlt, oder? was ist wo falsch?
danke, ciao Ledro

04.08.2005, 11:15

Mathespezialschüler

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Ist fast richtig. Was ist denn die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist der einzige Fehler.

Gruß MSS

04.08.2005, 11:19

Ledro

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hmmm... scheinbar nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ ?!
ich weiss es ehrlich nicht. kannst Du mir helfen? danke!

04.08.2005, 11:21

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} v(x)=x^n \end{eqnarray*}$ . Wie lautet denn dann die Ableitung? Wende das mal auf $\begin{eqnarray*} n=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ an! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

04.08.2005, 11:35

Ledro

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für $\begin{eqnarray*} v(x)=x^n \end{eqnarray*}$ lautet die ableitung $\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

dann müßte sie für $\begin{eqnarray*} n=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * x ^{-\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ lauten. und wie schreibt man das dann? etwa so:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt{x}^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$ ???
danke!

04.08.2005, 11:37

Mathespezialschüler

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Ja, genau! Aber falsch umgeschrieben. Richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \end{eqnarray*}$

Nur jetzt muss an die Stelle des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} u(x)=x^4+1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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