restklassen

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gast01 Auf diesen Beitrag antworten »
restklassen
Hallo,
könnte mir vielleicht jemand erklären, was man unter Restklassen versteht und was die Primzahlen damit zu tun haben?
Hab irgendwie keinen Plan davon.

Danke...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
wie ist denn deine Definition von Restklasse und was verstehst du dabei nicht? Evlt. hilft auch das: http://de.wikipedia.org/wiki/Restklasse


Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: restklassen
Zitat:
Original von gast01
könnte mir vielleicht jemand erklären, was man unter Restklassen versteht und was die Primzahlen damit zu tun haben?

eigentlich nix spezielles
genau die restklassenringe bzgl. primzahlen sind körper, aber sonst fällt mir da nix ein
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel das Beispiel aus wikipedia:
Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
Warum ist das so?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir eine beliebige ungerade Zahl. Was kommt modulo 2 heraus?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

weil modulo 2 alle ungeraden zahlen den gleichen rest lassen wie 1
also ist 1 ein vertreter dieser restklasse
 
 
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, aslo unter x mod a versteht man den rest der bei der division von x durch a
und wenn man jetzt eine beliebige zahl durch 2 teit, bekommt man ja immer eine ungerade zahl. also die menge ungerader zahlen. hab ich das jetzt so richtig verstanden?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast01
und wenn man jetzt eine beliebige zahl durch 2 teit, bekommt man ja immer eine ungerade zahl. also die menge ungerader zahlen. hab ich das jetzt so richtig verstanden?


Nein, wenn man eine beliebige ungerade Zahl durch 2 teilt, bekommt man als Rest 1.

Die Restklasse sind alle Zahlen, bei der derselbe Rest bei Division durch 2 rauskommt, daher Restklasse von 1 gleich ungerade Zahlen.
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

jezt versteh ich das....ich hab irgendwie in eine ganz andere richtung gedacht.
vielen dank!!
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Kontrollfrage: Wie viele Restklassen "modulo 2" gibt es?
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

naja, es ist ja die menge der ungeraden zahlen...
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab aber noch ne frage bzgl. der kongruenz.
die zahlen 3 und 5 z.b. sind kongruent modulu 2, weil sie den selben rest haben. stimmt das so?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Restklasse, es gibt noch mehr...

Edit: Ja das stimmt!
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

welche denn noch?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast01
ich hab aber noch ne frage bzgl. der kongruenz.
die zahlen 3 und 5 z.b. sind kongruent modulu 2, weil sie den selben rest haben. stimmt das so?




Das ist die Definition von Kongruenz modulo m.



Deine Aussage ist äquivalent dazu.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast01
welche denn noch?


Bei der Division durch 2 gibt es nicht nur den rest 1, sondern auch noch den Rest 0. Die Restklasse der 0 sind alle geraden Zahlen einschliesslich der 0.
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, jetzt verstanden.
nur eben noch selber eine kontrollfrage:
die restklasse 1 mod 4 ist die menge (1,5,9,13,...) weis der rest immer der gleiche ist....es gibt aber noch mehr restklassen.....

und nochmal vielen dank!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast01
die restklasse 1 mod 4 ist die menge (1,5,9,13,...)

aber -3, -7 etc. nicht vergessen!

Zitat:
es gibt aber noch mehr restklassen.....

und zwar genau 4 stück! (edit: genauer: es gibt insgesamt 4, also nioch DREI weitere)


modulo m gibt es immer m restklassen
ein vertretersystem dieser klassen ist z.b. {0,1,2,...,m-1}




edit: \ entfernt
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

was bedeutet denn vertretersystem?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hups sorry Augenzwinkern

in einem vertretersystem sind einfach für jede restklasse ein vertreter

also z.b. modulo 4 gibt es 4 restklassen
mögliche vertreter der klassen wären: 0,1,2 und 3

dann wäre {0,1,2,3} ein vertretersystem....

merk dir nicht den begriff, merk dir nur das kursive
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, gemerk...
und was war das nochmal jetzt mit den primzahlen, also a+pZ.
das ist dann ja noch so ein spezialfall der dann bzgl. der primzahlen einen körper bildet?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du diese vertreter nimmst und "gescheit" verknüpfst hast du (immer!) einen ring
sagt dir das was?
diese ringe nennt man restklasenringe modulo "irgendwas"

hast du also einen restklassenring modulo p (prim), dann ist dieser ring sogar ein Körper
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ring sagt mir was.
also ist z.b. die restklasse von 1 mod 2 die menge der ungeraden zahlen, und diese bilden einen restklassenring.

man kann doch 1 mod 2 nicht nur als division sehen. man kann das doch auch als addition oder subrtraktion sehen?

und dann noch zu den ringen...also ich hab gelesen, dass die menge
(0,1,2,...n-1) eine albelsche gruppe bildet unter der alddition modulu n, also
Zn=Z mod n....
bzgl. der multiplikation ist das keine gruppe.
wenn das aber doch der fall wäre, hätte man dann einen ring?
in welchen fällen ist das denn eine gruppe und wann ein ring?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du musst eben wissen, wie du diese elemente (die restklassen!) verknüpfst, um die ringstruktur zu erhalten!

am einfachsten behandelst du die restklassen einfach wie die vertreter 0,...,m-1 und verknüpst mit + und * wie "normal", wobei du dann einfach später, wenn du größer als m wirst, genügend oft m abziehst, um wieder in deine menge zu kommen.
das bildet dir mit diesen verknüpfungen tatsächlich einen ring.

also z.b. im restklassenring modulo 4 hast du 4 elemente (restklasse von 0, restklasse von 1,...., restklasse von 3); der einfachheit halber nennern wir diese {0,1,2,3}, oft mit strich drüber geschoben

ringaddition erfolgt dann z.b. so: 2+3=1

mfg jochen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast01
ja, ring sagt mir was.
also ist z.b. die restklasse von 1 mod 2 die menge der ungeraden zahlen, und diese bilden einen restklassenring.

Nein, du bringst da einiges durcheinander.

Der Restklassenring modulo 2 besteht aus 2 Elementen:

* der Restklasse 0, entspricht der Menge der geraden Zahlen { ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... }

* der Restklasse 1, entspricht der Menge der ungeraden Zahlen { ..., -3, -1, 1, 3, 5, ... }

Und die Ringoperationen + und * sind auf diese Klassen als Operanden definiert.
Also nochmal, die Klassen selbst sind die Operanden, nicht ihre Elemente!!! Es ist nur so, dass man sich Repräsentanten aus diesen Klassen auswählen kann und dann "ganz normal" (also wie von den ganzen Zahlen her gewohnt) mit diesen Repräsentanten statt der Klassen rechnen kann.


P.S.: LOED war schneller, aber ich schicke den Beitrag trotzdem ab, enthält ja einige andere Aspekte. Augenzwinkern
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also gibt es bei mod prim unendlichviele restklassen.....
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wieso denn? Du hast modulo p genau wie oben mehrfach gesagt genau p Restklassen, und das sind nun mal nur endlich viele. Es ist nur so, dass jede Restklasse unendlich viele ganze Zahlen enthält, aber das hat nichts speziell damit zu tun, dass p Primzahl ist. Das gilt genauso für die Restklassen bzgl. anderer Module.
gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

ich war eben durcheinader und hab das verwechselt, man teilt ja durch p....ja, ok, dann ist das klar...
schwarzbiber² Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

in meinem Matheskript steht das diese Restklassenringe nur dann einen Körper bilden wenn die Anz. der El. eine Primzahlpotenz ist. Warum ist das so, wo läge das Problem bei einem mod4 Körper ?

Ich hab noch irgendwo anders gelesen man hätte dann einen sog. Nullteiler, aber mehr stand da nicht. Kann mir das jemand erklären ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Als Nullteiler eines Ringes bezeichnet man Elemente mit .

In einem Körper darf es solche Nullteiler nicht geben: Betrachten wir mit . Ist , dann existiert im Körper das multiplikative Inverse , und dann gilt . Somit folgt im Körper aus stets oder , da ist kein Platz für Nullteiler.

Im Ring modulo 4 sind diese Nullteiler.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schwarzbiber²
in meinem Matheskript steht das diese Restklassenringe nur dann einen Körper bilden wenn die Anz. der El. eine Primzahlpotenz ist.

als restklassenring (also ein ring, der isomorph ist zu "Z/nZ" mit den oben von mir erwähnten verknüpfungen) muss die anzahl hier tatsächlich eine primzah selbst und nicht nur primzahlpotenz sein

mfg jochen

verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig, das "..potenz" hatte ich ganz überlesen. Möglicherweise verwechselt da schwarzbiber² die Räume und , die zwar für isomorph sind, für aber nicht.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Raum ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich meine damit das Galoisfeld der Ordnung , d.h., den bis auf Isomorphie eindeutigen Körper dieser Ordnung.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok, hätte man drauf kommen können.

Danke, Arthur!

Gruß vom Ben
schwarzbiber² Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Als Nullteiler eines Ringes bezeichnet man Elemente mit .

In einem Körper darf es solche Nullteiler nicht geben: Betrachten wir mit . Ist , dann existiert im Körper das multiplikative Inverse , und dann gilt . Somit folgt im Körper aus stets oder , da ist kein Platz für Nullteiler.

Im Ring modulo 4 sind diese Nullteiler.


Thenk ju. Jetzt ist alles klar. Das mit der Potenz ist ebenfalls zur Kenntniss genommen.
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