Eulerische Zahl als Grenzwert

03.08.2005, 23:08

Explorator

Eulerische Zahl als Grenzwert

Hallo,

Grenzwert, die Eulerische Zahl:

$\begin{eqnarray*} e:=\sum_{j=0}^\infty ~\frac{1}{j!} \end{eqnarray*}$ ist ein Element der Folge
$\begin{eqnarray*} 1, 1+\frac{1}{1!},1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}, 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!},..., \sum_{j=0}^n ~\frac{1}{j!},... \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen, ob diese unendliche Reihe konvergiert.
Frage: Bei solchen Aufgaben nimmt man einfach ein n-tes Element, setzt kleiner (oder grösser) dem n-ten+1 Element und versucht die Monotonie nachzuweisen? Wenn ja, reicht das für den Beweis der Konvergenz?

Danke voraus!

03.08.2005, 23:14

JochenX

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hallo
e ist eben NICHT glied dieser folge, es wird nur APPROXIMIERT

für konvergenz (ohne grenzwertberechnung) reicht hier folgendes zu zeigen: monotonie (leicht) und beschränktheit (ganz wichtig!)
daraus folgt dann zusammen die konvergenz

dazu reicht aber jede obere schranke, also auch 3 oder 42.
es muss nicht die kleinste obere schanke e sein.

03.08.2005, 23:16

sqrt(2)

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RE: Eulerische Zahl als Grenzwert

Zitat:

Original von Explorator
Frage: Bei solchen Aufgaben nimmt man einfach ein n-tes Element, setzt kleiner dem n-ten+1 Element und versucht die Monotonie zu beweisen? Wenn ja, reicht das für den Beweis der Konvergenz?

Das reicht nicht, siehe

$\begin{eqnarray*} a_k = \sum_{n=1}^k~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

-- diese Folge konvergiert nicht. Ich würde zeigen, dass deine Reihe kleiner oder gleich

$\begin{eqnarray*} b_k = 1+\sum_{n=1}^k~\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

(was ja eindeutig konvergiert) ist.

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